Algebra Beispiele

$f (x) = 8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}$ als Gleichung.

$y = 8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 8 {(\frac{y + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $8 {(\frac{y + 10}{9})}^{\frac{1}{7}} = x$ um.

$8 {(\frac{y + 10}{9})}^{\frac{1}{7}} = x$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $8 {(\frac{y + 10}{9})}^{\frac{1}{7}} = x$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $8 {(\frac{y + 10}{9})}^{\frac{1}{7}} = x$ durch $8$ .

$\frac{8 {(\frac{y + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}}{8} = \frac{x}{8}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 {(\frac{y + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}}{8} = \frac{x}{8}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.2.2.1

Dividiere ${(\frac{y + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}$ durch $1$ .

${(\frac{y + 10}{9})}^{\frac{1}{7}} = \frac{x}{8}$

Schritt 3.2.2.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{y + 10}{9}$ an.

$\frac{{(y + 10)}^{\frac{1}{7}}}{9^{\frac{1}{7}}} = \frac{x}{8}$

Schritt 3.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $9^{\frac{1}{7}}$ .

$9^{\frac{1}{7}} \frac{{(y + 10)}^{\frac{1}{7}}}{9^{\frac{1}{7}}} = 9^{\frac{1}{7}} \frac{x}{8}$

Schritt 3.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9^{\frac{1}{7}}$ .

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Schritt 3.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9^{\frac{1}{7}} \frac{{(y + 10)}^{\frac{1}{7}}}{9^{\frac{1}{7}}} = 9^{\frac{1}{7}} \frac{x}{8}$

Schritt 3.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

${(y + 10)}^{\frac{1}{7}} = 9^{\frac{1}{7}} \frac{x}{8}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache $9^{\frac{1}{7}} \frac{x}{8}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kombiniere $9^{\frac{1}{7}}$ und $\frac{x}{8}$ .

${(y + 10)}^{\frac{1}{7}} = \frac{9^{\frac{1}{7}} x}{8}$

Schritt 3.4.2.1.2

Stelle die Faktoren in $\frac{9^{\frac{1}{7}} x}{8}$ um.

${(y + 10)}^{\frac{1}{7}} = \frac{x \cdot 9^{\frac{1}{7}}}{8}$

Schritt 3.5

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $7$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(y + 10)}^{\frac{1}{7}})}^{7} = {(\frac{x \cdot 9^{\frac{1}{7}}}{8})}^{7}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.1.1

Vereinfache ${({(y + 10)}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Schritt 3.6.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(y + 10)}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Schritt 3.6.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 10)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(\frac{x \cdot 9^{\frac{1}{7}}}{8})}^{7}$

Schritt 3.6.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.6.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y + 10)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(\frac{x \cdot 9^{\frac{1}{7}}}{8})}^{7}$

Schritt 3.6.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(y + 10)}^{1} = {(\frac{x \cdot 9^{\frac{1}{7}}}{8})}^{7}$

Schritt 3.6.1.1.2

Vereinfache.

$y + 10 = {(\frac{x \cdot 9^{\frac{1}{7}}}{8})}^{7}$

Schritt 3.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.6.2.1

Vereinfache ${(\frac{x \cdot 9^{\frac{1}{7}}}{8})}^{7}$ .

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Schritt 3.6.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.6.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x \cdot 9^{\frac{1}{7}}}{8}$ an.

$y + 10 = \frac{{(x \cdot 9^{\frac{1}{7}})}^{7}}{8^{7}}$

Schritt 3.6.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $x \cdot 9^{\frac{1}{7}}$ an.

$y + 10 = \frac{x^{7} \cdot {(9^{\frac{1}{7}})}^{7}}{8^{7}}$

Schritt 3.6.2.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.2.1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(9^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Schritt 3.6.2.1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + 10 = \frac{x^{7} \cdot 9^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{8^{7}}$

Schritt 3.6.2.1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.6.2.1.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + 10 = \frac{x^{7} \cdot 9^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{8^{7}}$

Schritt 3.6.2.1.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y + 10 = \frac{x^{7} \cdot 9^{1}}{8^{7}}$

Schritt 3.6.2.1.2.2

Berechne den Exponenten.

$y + 10 = \frac{x^{7} \cdot 9}{8^{7}}$

Schritt 3.6.2.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.2.1.3.1

Potenziere $8$ mit $7$ .

$y + 10 = \frac{x^{7} \cdot 9}{2097152}$

Schritt 3.6.2.1.3.2

Bringe $9$ auf die linke Seite von $x^{7}$ .

$y + 10 = \frac{9 x^{7}}{2097152}$

Schritt 3.7

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{9 x^{7}}{2097152} - 10$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{9 x^{7}}{2097152} - 10$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{9 x^{7}}{2097152} - 10$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{9 {(8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}})}^{7}}{2097152} - 10$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1.1

Wende die Produktregel auf $8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}$ an.

$f^{- 1} (8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{9 \cdot (8^{7} {({(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}})}^{7})}{2097152} - 10$

Schritt 5.2.3.1.2

Potenziere $8$ mit $7$ .

$f^{- 1} (8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{9 \cdot (2097152 {({(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}})}^{7})}{2097152} - 10$

Schritt 5.2.3.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Schritt 5.2.3.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{9 \cdot (2097152 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7} \cdot 7})}{2097152} - 10$

Schritt 5.2.3.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.2.3.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{9 \cdot (2097152 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7} \cdot 7})}{2097152} - 10$

Schritt 5.2.3.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{9 \cdot (2097152 (\frac{x + 10}{9}))}{2097152} - 10$

Schritt 5.2.3.1.4

Vereinfache.

$f^{- 1} (8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{9 \cdot (2097152 (\frac{x + 10}{9}))}{2097152} - 10$

Schritt 5.2.3.1.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.2.3.1.5.1

Mutltipliziere $9$ mit $2097152$ .

$f^{- 1} (8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{18874368 (\frac{x + 10}{9})}{2097152} - 10$

Schritt 5.2.3.1.5.2

Kombiniere $18874368$ und $\frac{x + 10}{9}$ .

$f^{- 1} (8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{\frac{18874368 (x + 10)}{9}}{2097152} - 10$

Schritt 5.2.3.1.6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.6.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{18874368 (x + 10)}{9}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.6.1.1

Faktorisiere $9$ aus $18874368 (x + 10)$ heraus.

$f^{- 1} (8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{\frac{9 (2097152 (x + 10))}{9}}{2097152} - 10$

Schritt 5.2.3.1.6.1.2

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$f^{- 1} (8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{\frac{9 (2097152 (x + 10))}{9 (1)}}{2097152} - 10$

Schritt 5.2.3.1.6.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{\frac{9 (2097152 (x + 10))}{9 \cdot 1}}{2097152} - 10$

Schritt 5.2.3.1.6.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{\frac{2097152 (x + 10)}{1}}{2097152} - 10$

Schritt 5.2.3.1.6.2

Dividiere $2097152 (x + 10)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{2097152 (x + 10)}{2097152} - 10$

Schritt 5.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2097152$ .

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Schritt 5.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{2097152 (x + 10)}{2097152} - 10$

Schritt 5.2.3.2.2

Dividiere $x + 10$ durch $1$ .

$f^{- 1} (8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}) = x + 10 - 10$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 10 - 10$ .

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Schritt 5.2.4.1

Subtrahiere $10$ von $10$ .

$f^{- 1} (8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{9 x^{7}}{2097152} - 10)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{9 x^{7}}{2097152} - 10) = 8 {(\frac{(\frac{9 x^{7}}{2097152} - 10) + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Addiere $- 10$ und $10$ .

$f (\frac{9 x^{7}}{2097152} - 10) = 8 {(\frac{\frac{9 x^{7}}{2097152} + 0}{9})}^{\frac{1}{7}}$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $\frac{9 x^{7}}{2097152}$ und $0$ .

$f (\frac{9 x^{7}}{2097152} - 10) = 8 {(\frac{\frac{9 x^{7}}{2097152}}{9})}^{\frac{1}{7}}$

Schritt 5.3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{9 x^{7}}{2097152} - 10) = 8 {(\frac{9 x^{7}}{2097152} \cdot \frac{1}{9})}^{\frac{1}{7}}$

Schritt 5.3.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.3.5.1

Kombinieren.

$f (\frac{9 x^{7}}{2097152} - 10) = 8 {(\frac{9 x^{7} \cdot 1}{2097152 \cdot 9})}^{\frac{1}{7}}$

Schritt 5.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 5.3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{9 x^{7}}{2097152} - 10) = 8 {(\frac{9 x^{7} \cdot 1}{2097152 \cdot 9})}^{\frac{1}{7}}$

Schritt 5.3.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{9 x^{7}}{2097152} - 10) = 8 {(\frac{x^{7} \cdot 1}{2097152})}^{\frac{1}{7}}$

Schritt 5.3.5.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.5.3.1

Mutltipliziere $x^{7}$ mit $1$ .

$f (\frac{9 x^{7}}{2097152} - 10) = 8 {(\frac{x^{7}}{2097152})}^{\frac{1}{7}}$

Schritt 5.3.5.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{x^{7}}{2097152}$ an.

$f (\frac{9 x^{7}}{2097152} - 10) = 8 (\frac{{(x^{7})}^{\frac{1}{7}}}{2097152^{\frac{1}{7}}})$

Schritt 5.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.6.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{7})}^{\frac{1}{7}}$ .

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Schritt 5.3.6.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{9 x^{7}}{2097152} - 10) = 8 (\frac{x^{7 (\frac{1}{7})}}{2097152^{\frac{1}{7}}})$

Schritt 5.3.6.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.6.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{9 x^{7}}{2097152} - 10) = 8 (\frac{x^{7 (\frac{1}{7})}}{2097152^{\frac{1}{7}}})$

Schritt 5.3.6.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{9 x^{7}}{2097152} - 10) = 8 (\frac{x}{2097152^{\frac{1}{7}}})$

Schritt 5.3.6.2

Vereinfache.

$f (\frac{9 x^{7}}{2097152} - 10) = 8 (\frac{x}{2097152^{\frac{1}{7}}})$

Schritt 5.3.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.7.1

Schreibe $2097152$ als $8^{7}$ um.

$f (\frac{9 x^{7}}{2097152} - 10) = 8 (\frac{x}{{(8^{7})}^{\frac{1}{7}}})$

Schritt 5.3.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{9 x^{7}}{2097152} - 10) = 8 (\frac{x}{8^{7 (\frac{1}{7})}})$

Schritt 5.3.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{9 x^{7}}{2097152} - 10) = 8 (\frac{x}{8^{7 (\frac{1}{7})}})$

Schritt 5.3.7.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{9 x^{7}}{2097152} - 10) = 8 (\frac{x}{8})$

Schritt 5.3.7.4

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{9 x^{7}}{2097152} - 10) = 8 (\frac{x}{8})$

Schritt 5.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 5.3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{9 x^{7}}{2097152} - 10) = 8 (\frac{x}{8})$

Schritt 5.3.8.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{9 x^{7}}{2097152} - 10) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{9 x^{7}}{2097152} - 10$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 8 {(\frac{x + 10}{9})}^{\frac{1}{7}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{9 x^{7}}{2097152} - 10$