Algebra Beispiele

$5 x^{2} + 13 x + 3 > 9$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$5 x^{2} + 13 x + 3 = 9$

Schritt 2

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{2} + 13 x + 3 - 9 = 0$

Schritt 3

Subtrahiere $9$ von $3$ .

$5 x^{2} + 13 x - 6 = 0$

Schritt 4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 5 \cdot - 6 = - 30$ und deren Summe gleich $b = 13$ ist.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $13$ aus $13 x$ heraus.

$5 x^{2} + 13 (x) - 6 = 0$

Schritt 4.1.2

Schreibe $13$ um als $- 2$ plus $15$

$5 x^{2} + (- 2 + 15) x - 6 = 0$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{2} - 2 x + 15 x - 6 = 0$

Schritt 4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(5 x^{2} - 2 x) + 15 x - 6 = 0$

Schritt 4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (5 x - 2) + 3 (5 x - 2) = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 x - 2$ .

$(5 x - 2) (x + 3) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$5 x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 6

Setze $5 x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $5 x - 2$ gleich $0$ .

$5 x - 2 = 0$

Schritt 6.2

Löse $5 x - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = 2$

Schritt 6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 2$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 2$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{5}$

Schritt 7

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 7.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(5 x - 2) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{2}{5}, - 3$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 3$

$- 3 < x < \frac{2}{5}$

$x > \frac{2}{5}$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 10.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$5 {(- 6)}^{2} + 13 (- 6) + 3 > 9$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $105$ ist größer als die rechte Seite $9$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $- 3 < x < \frac{2}{5}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 3 < x < \frac{2}{5}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 10.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$5 {(0)}^{2} + 13 (0) + 3 > 9$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $3$ ist nicht größer als die rechte Seite $9$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{2}{5}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{2}{5}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 10.3.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$5 {(3)}^{2} + 13 (3) + 3 > 9$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $87$ ist größer als die rechte Seite $9$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < \frac{2}{5}$ Falsch

$x > \frac{2}{5}$ Wahr

$x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < \frac{2}{5}$ Falsch

$x > \frac{2}{5}$ Wahr

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 3$ oder $x > \frac{2}{5}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < - 3 or x > \frac{2}{5}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 3) \cup (\frac{2}{5}, \infty)$

Schritt 13