Algebra Beispiele

$p (x) = (x^{2} - 9) (x^{2} + x - 2)$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = (x^{2} - 9) (x^{2} + x - 2)$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $(x^{2} - 9) (x^{2} + x - 2) = 0$ um.

$(x^{2} - 9) (x^{2} + x - 2) = 0$

Schritt 1.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} - 9 = 0$

$x^{2} + x - 2 = 0$

Schritt 1.2.3

Setze $x^{2} - 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Setze $x^{2} - 9$ gleich $0$ .

$x^{2} - 9 = 0$

Schritt 1.2.3.2

Löse $x^{2} - 9 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.2.1

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 9$

Schritt 1.2.3.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{9}$

Schritt 1.2.3.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{9}$ .

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Schritt 1.2.3.2.3.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Schritt 1.2.3.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 3$

Schritt 1.2.3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3$

Schritt 1.2.3.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3$

Schritt 1.2.3.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3, - 3$

Schritt 1.2.4

Setze $x^{2} + x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $x^{2} + x - 2$ gleich $0$ .

$x^{2} + x - 2 = 0$

Schritt 1.2.4.2

Löse $x^{2} + x - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.2.1

Faktorisiere $x^{2} + x - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $1$ ist.

$- 1, 2$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 1) (x + 2) = 0$

Schritt 1.2.4.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 1.2.4.2.3

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.2.3.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 1.2.4.2.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 1.2.4.2.4

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.2.4.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 1.2.4.2.4.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 1.2.4.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 1) (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 1, - 2$

Schritt 1.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{2} - 9) (x^{2} + x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - 3, 1, - 2$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(3, 0), (- 3, 0), (1, 0), (- 2, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = ({(0)}^{2} - 9) ({(0)}^{2} + 0 - 2)$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = ({(0)}^{2} - 9) ({(0)}^{2} + 0 - 2)$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = (0^{2} - 9) ({(0)}^{2} + 0 - 2)$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = (0^{2} - 9) (0^{2} + 0 - 2)$

Schritt 2.2.4

Entferne die Klammern.

$y = ({(0)}^{2} - 9) ({(0)}^{2} + 0 - 2)$

Schritt 2.2.5

Vereinfache $({(0)}^{2} - 9) ({(0)}^{2} + 0 - 2)$ .

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Schritt 2.2.5.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = (0 - 9) ({(0)}^{2} + 0 - 2)$

Schritt 2.2.5.2

Subtrahiere $9$ von $0$ .

$y = - 9 ({(0)}^{2} + 0 - 2)$

Schritt 2.2.5.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = - 9 (0 + 0 - 2)$

Schritt 2.2.5.4

Addiere $0$ und $0$ .

$y = - 9 (0 - 2)$

Schritt 2.2.5.5

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$y = - 9 \cdot - 2$

Schritt 2.2.5.6

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 2$ .

$y = 18$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 18)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(3, 0), (- 3, 0), (1, 0), (- 2, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 18)$

Schritt 4