Algebra Beispiele

$x^{5} = 18 x^{3} - 81 x$

Schritt 1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$18 x^{3} - 81 x = x^{5}$

Schritt 2

Subtrahiere $x^{5}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$18 x^{3} - 81 x - x^{5} = 0$

Schritt 3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $- x$ aus $18 x^{3} - 81 x - x^{5}$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 3.1.1.1

Bewege $- 81 x$ .

$18 x^{3} - x^{5} - 81 x = 0$

Schritt 3.1.1.2

Stelle $18 x^{3}$ und $- x^{5}$ um.

$- x^{5} + 18 x^{3} - 81 x = 0$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $- x$ aus $- x^{5}$ heraus.

$- x \cdot x^{4} + 18 x^{3} - 81 x = 0$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $- x$ aus $18 x^{3}$ heraus.

$- x \cdot x^{4} - x (- 18 x^{2}) - 81 x = 0$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere $- x$ aus $- 81 x$ heraus.

$- x \cdot x^{4} - x (- 18 x^{2}) - x \cdot 81 = 0$

Schritt 3.1.5

Faktorisiere $- x$ aus $- x (x^{4}) - x (- 18 x^{2})$ heraus.

$- x (x^{4} - 18 x^{2}) - x \cdot 81 = 0$

Schritt 3.1.6

Faktorisiere $- x$ aus $- x (x^{4} - 18 x^{2}) - x (81)$ heraus.

$- x (x^{4} - 18 x^{2} + 81) = 0$

Schritt 3.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- x ({(x^{2})}^{2} - 18 x^{2} + 81) = 0$

Schritt 3.3

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- x (u^{2} - 18 u + 81) = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.4.1

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$- x (u^{2} - 18 u + 9^{2}) = 0$

Schritt 3.4.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$18 u = 2 \cdot u \cdot 9$

Schritt 3.4.3

Schreibe das Polynom neu.

$- x (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 9 + 9^{2}) = 0$

Schritt 3.4.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 9$ .

$- x {(u - 9)}^{2} = 0$

Schritt 3.5

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- x {(x^{2} - 9)}^{2} = 0$

Schritt 3.6

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$- x {(x^{2} - 3^{2})}^{2} = 0$

Schritt 3.7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$- x {((x + 3) (x - 3))}^{2} = 0$

Schritt 3.8

Faktorisiere.

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Schritt 3.8.1

Wende die Produktregel auf $(x + 3) (x - 3)$ an.

$- x ({(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}) = 0$

Schritt 3.8.2

Entferne unnötige Klammern.

$- x {(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

Schritt 5

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 6

Setze ${(x + 3)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze ${(x + 3)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Schritt 6.2

Löse ${(x + 3)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 7

Setze ${(x - 3)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze ${(x - 3)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Schritt 7.2

Löse ${(x - 3)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 7.2.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- x {(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 3, 3$