Algebra Beispiele

$x + y = 5$ $y + 1 = 3 x^{2} + 2 x$

Schritt 1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5 - y$

$y + 1 = 3 x^{2} + 2 x$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $5 - y$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $y + 1 = 3 x^{2} + 2 x$ durch $5 - y$ .

$y + 1 = 3 {(5 - y)}^{2} + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $3 {(5 - y)}^{2} + 2 (5 - y)$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Schreibe ${(5 - y)}^{2}$ als $(5 - y) (5 - y)$ um.

$y + 1 = 3 ((5 - y) (5 - y)) + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

Schritt 2.2.1.1.2

Multipliziere $(5 - y) (5 - y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 1 = 3 (5 (5 - y) - y (5 - y)) + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 1 = 3 (5 \cdot 5 + 5 (- y) - y (5 - y)) + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

Schritt 2.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 1 = 3 (5 \cdot 5 + 5 (- y) - y \cdot 5 - y (- y)) + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

$y + 1 = 3 (5 \cdot 5 + 5 (- y) - y \cdot 5 - y (- y)) + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

Schritt 2.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$y + 1 = 3 (25 + 5 (- y) - y \cdot 5 - y (- y)) + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$y + 1 = 3 (25 - 5 y - y \cdot 5 - y (- y)) + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$y + 1 = 3 (25 - 5 y - 5 y - y (- y)) + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y + 1 = 3 (25 - 5 y - 5 y - 1 \cdot (- 1 y \cdot y)) + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.5

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.1.3.1.5.1

Bewege $y$ .

$y + 1 = 3 (25 - 5 y - 5 y - 1 \cdot (- 1 (y \cdot y))) + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.5.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y + 1 = 3 (25 - 5 y - 5 y - 1 \cdot (- 1 y^{2})) + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

$y + 1 = 3 (25 - 5 y - 5 y - 1 \cdot (- 1 y^{2})) + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y + 1 = 3 (25 - 5 y - 5 y + 1 y^{2}) + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.1.7

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$y + 1 = 3 (25 - 5 y - 5 y + y^{2}) + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

$y + 1 = 3 (25 - 5 y - 5 y + y^{2}) + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Subtrahiere $5 y$ von $- 5 y$ .

$y + 1 = 3 (25 - 10 y + y^{2}) + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

$y + 1 = 3 (25 - 10 y + y^{2}) + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

Schritt 2.2.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 1 = 3 \cdot 25 + 3 (- 10 y) + 3 y^{2} + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

Schritt 2.2.1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $25$ .

$y + 1 = 75 + 3 (- 10 y) + 3 y^{2} + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

Schritt 2.2.1.1.5.2

Mutltipliziere $- 10$ mit $3$ .

$y + 1 = 75 - 30 y + 3 y^{2} + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

$y + 1 = 75 - 30 y + 3 y^{2} + 2 (5 - y)$

$x = 5 - y$

Schritt 2.2.1.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 1 = 75 - 30 y + 3 y^{2} + 2 \cdot 5 + 2 (- y)$

$x = 5 - y$

Schritt 2.2.1.1.7

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$y + 1 = 75 - 30 y + 3 y^{2} + 10 + 2 (- y)$

$x = 5 - y$

Schritt 2.2.1.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y + 1 = 75 - 30 y + 3 y^{2} + 10 - 2 y$

$x = 5 - y$

$y + 1 = 75 - 30 y + 3 y^{2} + 10 - 2 y$

$x = 5 - y$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.1.2.1

Addiere $75$ und $10$ .

$y + 1 = - 30 y + 3 y^{2} + 85 - 2 y$

$x = 5 - y$

Schritt 2.2.1.2.2

Subtrahiere $2 y$ von $- 30 y$ .

$y + 1 = - 32 y + 3 y^{2} + 85$

$x = 5 - y$

$y + 1 = - 32 y + 3 y^{2} + 85$

$x = 5 - y$

$y + 1 = - 32 y + 3 y^{2} + 85$

$x = 5 - y$

$y + 1 = - 32 y + 3 y^{2} + 85$

$x = 5 - y$

$y + 1 = - 32 y + 3 y^{2} + 85$

$x = 5 - y$

Schritt 3

Löse in $y + 1 = - 32 y + 3 y^{2} + 85$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Da $y$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$- 32 y + 3 y^{2} + 85 = y + 1$

$x = 5 - y$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die $y$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 32 y + 3 y^{2} + 85 - y = 1$

$x = 5 - y$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $y$ von $- 32 y$ .

$- 33 y + 3 y^{2} + 85 = 1$

$x = 5 - y$

$- 33 y + 3 y^{2} + 85 = 1$

$x = 5 - y$

Schritt 3.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 33 y + 3 y^{2} + 85 - 1 = 0$

$x = 5 - y$

Schritt 3.4

Subtrahiere $1$ von $85$ .

$- 33 y + 3 y^{2} + 84 = 0$

$x = 5 - y$

Schritt 3.5

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $3$ aus $- 33 y + 3 y^{2} + 84$ heraus.

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Schritt 3.5.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 33 y$ heraus.

$3 (- 11 y) + 3 y^{2} + 84 = 0$

$x = 5 - y$

Schritt 3.5.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3 y^{2}$ heraus.

$3 (- 11 y) + 3 (y^{2}) + 84 = 0$

$x = 5 - y$

Schritt 3.5.1.3

Faktorisiere $3$ aus $84$ heraus.

$3 (- 11 y) + 3 y^{2} + 3 \cdot 28 = 0$

$x = 5 - y$

Schritt 3.5.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (- 11 y) + 3 y^{2}$ heraus.

$3 (- 11 y + y^{2}) + 3 \cdot 28 = 0$

$x = 5 - y$

Schritt 3.5.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (- 11 y + y^{2}) + 3 \cdot 28$ heraus.

$3 (- 11 y + y^{2} + 28) = 0$

$x = 5 - y$

$3 (- 11 y + y^{2} + 28) = 0$

$x = 5 - y$

Schritt 3.5.2

Es sei $u = y$ . Ersetze $u$ für alle $y$ .

$3 (- 11 u + u^{2} + 28) = 0$

$x = 5 - y$

Schritt 3.5.3

Faktorisiere $- 11 u + u^{2} + 28$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.5.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $28$ und deren Summe $- 11$ ist.

$- 7, - 4$

$x = 5 - y$

Schritt 3.5.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$3 ((u - 7) (u - 4)) = 0$

$x = 5 - y$

$3 ((u - 7) (u - 4)) = 0$

$x = 5 - y$

Schritt 3.5.4

Faktorisiere.

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Schritt 3.5.4.1

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$3 ((y - 7) (y - 4)) = 0$

$x = 5 - y$

Schritt 3.5.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 (y - 7) (y - 4) = 0$

$x = 5 - y$

$3 (y - 7) (y - 4) = 0$

$x = 5 - y$

$3 (y - 7) (y - 4) = 0$

$x = 5 - y$

Schritt 3.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y - 7 = 0$

$y - 4 = 0$

$x = 5 - y$

Schritt 3.7

Setze $y - 7$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.7.1

Setze $y - 7$ gleich $0$ .

$y - 7 = 0$

$x = 5 - y$

Schritt 3.7.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 7$

$x = 5 - y$

$y = 7$

$x = 5 - y$

Schritt 3.8

Setze $y - 4$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.8.1

Setze $y - 4$ gleich $0$ .

$y - 4 = 0$

$x = 5 - y$

Schritt 3.8.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 4$

$x = 5 - y$

$y = 4$

$x = 5 - y$

Schritt 3.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3 (y - 7) (y - 4) = 0$ wahr machen.

$y = 7, 4$

$x = 5 - y$

$y = 7, 4$

$x = 5 - y$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $7$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = 5 - y$ durch $7$ .

$x = 5 - (7)$

$y = 7$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $5 - (7)$ .

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$x = 5 - 7$

$y = 7$

Schritt 4.2.1.2

Subtrahiere $7$ von $5$ .

$x = - 2$

$y = 7$

$x = - 2$

$y = 7$

$x = - 2$

$y = 7$

$x = - 2$

$y = 7$

Schritt 5

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $4$ in jeder Gleichung.

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Schritt 5.1

Ersetze alle $y$ in $x = 5 - y$ durch $4$ .

$x = 5 - (4)$

$y = 4$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $5 - (4)$ .

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Schritt 5.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$x = 5 - 4$

$y = 4$

Schritt 5.2.1.2

Subtrahiere $4$ von $5$ .

$x = 1$

$y = 4$

$x = 1$

$y = 4$

$x = 1$

$y = 4$

$x = 1$

$y = 4$

Schritt 6

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(- 2, 7)$

$(1, 4)$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(- 2, 7), (1, 4)$

Gleichungsform:

$x = - 2, y = 7$

$x = 1, y = 4$

Schritt 8