Algebra Beispiele

$2 x - 5 \sqrt{x} + 2 = 0$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $- 5 \sqrt{x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 5 \sqrt{x} + 2 = - 2 x$

Schritt 1.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 5 \sqrt{x} = - 2 x - 2$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- 5 \sqrt{x})}^{2} = {(- 2 x - 2)}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- 5 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 x - 2)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${(- 5 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- 5 x^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 5)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 x - 2)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$25 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 x - 2)}^{2}$

Schritt 3.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 x - 2)}^{2}$

Schritt 3.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 x - 2)}^{2}$

Schritt 3.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$25 x^{1} = {(- 2 x - 2)}^{2}$

Schritt 3.2.1.4

Vereinfache.

$25 x = {(- 2 x - 2)}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(- 2 x - 2)}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(- 2 x - 2)}^{2}$ als $(- 2 x - 2) (- 2 x - 2)$ um.

$25 x = (- 2 x - 2) (- 2 x - 2)$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(- 2 x - 2) (- 2 x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$25 x = - 2 x (- 2 x - 2) - 2 (- 2 x - 2)$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$25 x = - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 2 - 2 (- 2 x - 2)$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$25 x = - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 2 - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$25 x = - 2 \cdot - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2 - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$25 x = - 2 \cdot - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 2 - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$25 x = - 2 \cdot - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 2 - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$25 x = 4 x^{2} - 2 x \cdot - 2 - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$25 x = 4 x^{2} + 4 x - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$25 x = 4 x^{2} + 4 x + 4 x - 2 \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$25 x = 4 x^{2} + 4 x + 4 x + 4$

Schritt 3.3.1.3.2

Addiere $4 x$ und $4 x$ .

$25 x = 4 x^{2} + 8 x + 4$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$4 x^{2} + 8 x + 4 = 25 x$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $25 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} + 8 x + 4 - 25 x = 0$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $25 x$ von $8 x$ .

$4 x^{2} - 17 x + 4 = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot 4 = 16$ und deren Summe gleich $b = - 17$ ist.

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Schritt 4.3.1.1

Faktorisiere $- 17$ aus $- 17 x$ heraus.

$4 x^{2} - 17 x + 4 = 0$

Schritt 4.3.1.2

Schreibe $- 17$ um als $- 1$ plus $- 16$

$4 x^{2} + (- 1 - 16) x + 4 = 0$

Schritt 4.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} - 1 x - 16 x + 4 = 0$

Schritt 4.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(4 x^{2} - 1 x) - 16 x + 4 = 0$

Schritt 4.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (4 x - 1) - 4 (4 x - 1) = 0$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 x - 1$ .

$(4 x - 1) (x - 4) = 0$

Schritt 4.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4 x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 4.5

Setze $4 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $4 x - 1$ gleich $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Schritt 4.5.2

Löse $4 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 1$

Schritt 4.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 4.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 1$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 4.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 4.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Schritt 4.6

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.6.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 4.6.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 4.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(4 x - 1) (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{4}, 4$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{1}{4}, 4$

Dezimalform:

$x = 0.25, 4$