Algebra Beispiele

$f (x) = \arcsin (\cos (x))$

Schritt 1

Setze das Argument in $\arcsin (\cos (x))$ größer oder gleich $- 1$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck definiert ist.

$\cos (x) \geq - 1$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x \geq \arccos (- 1)$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Der genau Wert von $\arccos (- 1)$ ist $π$ .

$x \geq π$

Schritt 2.3

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - π$

Schritt 2.4

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$x = π$

Schritt 2.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 2.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$π < x < 3 π$

Schritt 2.8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.8.1

Teste einen Wert im Intervall $π < x < 3 π$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $π < x < 3 π$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 2.8.1.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\cos (6) \geq - 1$

Schritt 2.8.1.3

Die linke Seite $0.96017028$ ist größer als die rechte Seite $- 1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.8.2

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$π < x < 3 π$ Wahr

Schritt 2.9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$π + 2 π n \leq x \leq 3 π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3

Setze das Argument in $\arcsin (\cos (x))$ kleiner oder gleich $1$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck definiert ist.

$\cos (x) \leq 1$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x \leq \arccos (1)$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Der genau Wert von $\arccos (1)$ ist $0$ .

$x \leq 0$

Schritt 4.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - 0$

Schritt 4.4

Subtrahiere $0$ von $2 π$ .

$x = 2 π$

Schritt 4.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 4.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 4.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 4.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4.7

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4.8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$0 < x < 2 π$

Schritt 4.9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.9.1

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 2 π$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 2 π$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 4.9.1.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\cos (3) \leq 1$

Schritt 4.9.1.3

Die linke Seite $- 0.98999249$ ist kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 4.9.2

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$0 < x < 2 π$ Wahr

Schritt 4.10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 + 2 π n \leq x \leq 2 π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x = π + 2 π n, x = 3 π + 2 π n, x = 0 + 2 π n, x = 2 π + 2 π n}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}}$

Schritt 7

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: ${x | x = π + 2 π n, x = 3 π + 2 π n, x = 0 + 2 π n, x = 2 π + 2 π n}$ , für jede Ganzzahl $n$

Wertebereich: $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}], {y | - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}}$

Schritt 8