Algebra Beispiele

$5^{x - 2} = 3 \cdot 4^{x + 1}$

Schritt 1

Logarithmiere beide Seiten der Gleichung.

$\ln (5^{x - 2}) = \ln (3 \cdot 4^{x + 1})$

Schritt 2

Zerlege $\ln (5^{x - 2})$ durch Herausziehen von $x - 2$ aus dem Logarithmus.

$(x - 2) \ln (5) = \ln (3 \cdot 4^{x + 1})$

Schritt 3

Schreibe $\ln (3 \cdot 4^{x + 1})$ als $\ln (3) + \ln (4^{x + 1})$ um.

$(x - 2) \ln (5) = \ln (3) + \ln (4^{x + 1})$

Schritt 4

Zerlege $\ln (4^{x + 1})$ durch Herausziehen von $x + 1$ aus dem Logarithmus.

$(x - 2) \ln (5) = \ln (3) + (x + 1) \ln (4)$

Schritt 5

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache $(x - 2) \ln (5)$ .

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Schritt 5.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (5) - 2 \ln (5) = \ln (3) + (x + 1) \ln (4)$

Schritt 5.1.1.2

Vereinfache $- 2 \ln (5)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$x \ln (5) - \ln (5^{2}) = \ln (3) + (x + 1) \ln (4)$

Schritt 5.1.1.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x \ln (5) - \ln (25) = \ln (3) + (x + 1) \ln (4)$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $\ln (3) + (x + 1) \ln (4)$ .

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (5) - \ln (25) = \ln (3) + x \ln (4) + 1 \ln (4)$

Schritt 5.2.1.1.2

Mutltipliziere $\ln (4)$ mit $1$ .

$x \ln (5) - \ln (25) = \ln (3) + x \ln (4) + \ln (4)$

Schritt 5.2.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$x \ln (5) - \ln (25) = x \ln (4) + \ln (3 \cdot 4)$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$x \ln (5) - \ln (25) = x \ln (4) + \ln (12)$

Schritt 5.3

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$x \ln (5) - \ln (25) - x \ln (4) - \ln (12) = 0$

Schritt 5.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.4.1

Addiere $\ln (25)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (5) - x \ln (4) - \ln (12) = \ln (25)$

Schritt 5.4.2

Addiere $\ln (12)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (5) - x \ln (4) = \ln (25) + \ln (12)$

Schritt 5.5

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (5) - x \ln (4)$ heraus.

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (5)$ heraus.

$x (\ln (5)) - x \ln (4) = \ln (25) + \ln (12)$

Schritt 5.5.2

Faktorisiere $x$ aus $- x \ln (4)$ heraus.

$x (\ln (5)) + x (- 1 \ln (4)) = \ln (25) + \ln (12)$

Schritt 5.5.3

Faktorisiere $x$ aus $x (\ln (5)) + x (- 1 \ln (4))$ heraus.

$x (\ln (5) - 1 \ln (4)) = \ln (25) + \ln (12)$

Schritt 5.6

Schreibe $- 1 \ln (4)$ als $- \ln (4)$ um.

$x (\ln (5) - \ln (4)) = \ln (25) + \ln (12)$

Schritt 5.7

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (5) - \ln (4)) = \ln (25) + \ln (12)$ durch $\ln (5) - \ln (4)$ und vereinfache.

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Schritt 5.7.1

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (5) - \ln (4)) = \ln (25) + \ln (12)$ durch $\ln (5) - \ln (4)$ .

$\frac{x (\ln (5) - \ln (4))}{\ln (5) - \ln (4)} = \frac{\ln (25)}{\ln (5) - \ln (4)} + \frac{\ln (12)}{\ln (5) - \ln (4)}$

Schritt 5.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (5) - \ln (4)$ .

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Schritt 5.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (\ln (5) - \ln (4))}{\ln (5) - \ln (4)} = \frac{\ln (25)}{\ln (5) - \ln (4)} + \frac{\ln (12)}{\ln (5) - \ln (4)}$

Schritt 5.7.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (25)}{\ln (5) - \ln (4)} + \frac{\ln (12)}{\ln (5) - \ln (4)}$

Schritt 5.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.7.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{\ln (25) + \ln (12)}{\ln (5) - \ln (4)}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{\ln (25) + \ln (12)}{\ln (5) - \ln (4)}$

Dezimalform:

$x = 25.56104552 \dots$