Algebra Beispiele

$2 x^{2} + 6 > 13 x$

Schritt 1

Subtrahiere $13 x$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$2 x^{2} + 6 - 13 x > 0$

Schritt 2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$2 x^{2} + 6 - 13 x = 0$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Stelle die Terme um.

$2 x^{2} - 13 x + 6 = 0$

Schritt 3.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 6 = 12$ und deren Summe gleich $b = - 13$ ist.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $- 13$ aus $- 13 x$ heraus.

$2 x^{2} - 13 x + 6 = 0$

Schritt 3.2.2

Schreibe $- 13$ um als $- 1$ plus $- 12$

$2 x^{2} + (- 1 - 12) x + 6 = 0$

Schritt 3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - 1 x - 12 x + 6 = 0$

Schritt 3.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 x^{2} - 1 x) - 12 x + 6 = 0$

Schritt 3.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (2 x - 1) - 6 (2 x - 1) = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 1$ .

$(2 x - 1) (x - 6) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x - 6 = 0$

Schritt 5

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Schritt 5.2

Löse $2 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 6

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 6.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x - 1) (x - 6) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{2}, 6$

Schritt 8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 6$

$x > 6$

Schritt 9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 9.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 {(0)}^{2} + 6 > 13 (0)$

Schritt 9.1.3

Die linke Seite $6$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 9.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{1}{2} < x < 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{1}{2} < x < 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 9.2.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 {(3)}^{2} + 6 > 13 (3)$

Schritt 9.2.3

Die linke Seite $24$ ist nicht größer als die rechte Seite $39$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 9.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 9.3.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 {(8)}^{2} + 6 > 13 (8)$

Schritt 9.3.3

Die linke Seite $134$ ist größer als die rechte Seite $104$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < \frac{1}{2}$ Wahr

$\frac{1}{2} < x < 6$ Falsch

$x > 6$ Wahr

$x < \frac{1}{2}$ Wahr

$\frac{1}{2} < x < 6$ Falsch

$x > 6$ Wahr

Schritt 10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < \frac{1}{2}$ oder $x > 6$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < \frac{1}{2} or x > 6$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (6, \infty)$

Schritt 12