Algebra Beispiele

$4^{5 x + 2} = 0.8 \cdot 5^{5 x + 2}$

Schritt 1

Logarithmiere beide Seiten der Gleichung.

$\ln (4^{5 x + 2}) = \ln (0.8 \cdot 5^{5 x + 2})$

Schritt 2

Zerlege $\ln (4^{5 x + 2})$ durch Herausziehen von $5 x + 2$ aus dem Logarithmus.

$(5 x + 2) \ln (4) = \ln (0.8 \cdot 5^{5 x + 2})$

Schritt 3

Schreibe $\ln (0.8 \cdot 5^{5 x + 2})$ als $\ln (0.8) + \ln (5^{5 x + 2})$ um.

$(5 x + 2) \ln (4) = \ln (0.8) + \ln (5^{5 x + 2})$

Schritt 4

Zerlege $\ln (5^{5 x + 2})$ durch Herausziehen von $5 x + 2$ aus dem Logarithmus.

$(5 x + 2) \ln (4) = \ln (0.8) + (5 x + 2) \ln (5)$

Schritt 5

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache $(5 x + 2) \ln (4)$ .

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Schritt 5.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x \ln (4) + 2 \ln (4) = \ln (0.8) + (5 x + 2) \ln (5)$

Schritt 5.1.1.2

Vereinfache $5 \ln (4)$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$x \ln (4^{5}) + 2 \ln (4) = \ln (0.8) + (5 x + 2) \ln (5)$

Schritt 5.1.1.3

Vereinfache $2 \ln (4)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$x \ln (4^{5}) + \ln (4^{2}) = \ln (0.8) + (5 x + 2) \ln (5)$

Schritt 5.1.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1.4.1

Potenziere $4$ mit $5$ .

$x \ln (1024) + \ln (4^{2}) = \ln (0.8) + (5 x + 2) \ln (5)$

Schritt 5.1.1.4.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x \ln (1024) + \ln (16) = \ln (0.8) + (5 x + 2) \ln (5)$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $\ln (0.8) + (5 x + 2) \ln (5)$ .

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (1024) + \ln (16) = \ln (0.8) + 5 x \ln (5) + 2 \ln (5)$

Schritt 5.2.1.1.2

Vereinfache $5 \ln (5)$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$x \ln (1024) + \ln (16) = \ln (0.8) + x \ln (5^{5}) + 2 \ln (5)$

Schritt 5.2.1.1.3

Vereinfache $2 \ln (5)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$x \ln (1024) + \ln (16) = \ln (0.8) + x \ln (5^{5}) + \ln (5^{2})$

Schritt 5.2.1.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1.4.1

Potenziere $5$ mit $5$ .

$x \ln (1024) + \ln (16) = \ln (0.8) + x \ln (3125) + \ln (5^{2})$

Schritt 5.2.1.1.4.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x \ln (1024) + \ln (16) = \ln (0.8) + x \ln (3125) + \ln (25)$

Schritt 5.2.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$x \ln (1024) + \ln (16) = x \ln (3125) + \ln (0.8 \cdot 25)$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $0.8$ mit $25$ .

$x \ln (1024) + \ln (16) = x \ln (3125) + \ln (20)$

Schritt 5.3

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$x \ln (1024) + \ln (16) - x \ln (3125) - \ln (20) = 0$

Schritt 5.4

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (1024) - x \ln (3125) + \ln (\frac{16}{20}) = 0$

Schritt 5.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $20$ .

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$x \ln (1024) - x \ln (3125) + \ln (\frac{4 (4)}{20}) = 0$

Schritt 5.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.2.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$x \ln (1024) - x \ln (3125) + \ln (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 5}) = 0$

Schritt 5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x \ln (1024) - x \ln (3125) + \ln (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 5}) = 0$

Schritt 5.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x \ln (1024) - x \ln (3125) + \ln (\frac{4}{5}) = 0$

Schritt 5.6

Subtrahiere $\ln (\frac{4}{5})$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (1024) - x \ln (3125) = - \ln (\frac{4}{5})$

Schritt 5.7

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (1024) - x \ln (3125)$ heraus.

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Schritt 5.7.1

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (1024)$ heraus.

$x (\ln (1024)) - x \ln (3125) = - \ln (\frac{4}{5})$

Schritt 5.7.2

Faktorisiere $x$ aus $- x \ln (3125)$ heraus.

$x (\ln (1024)) + x (- 1 \ln (3125)) = - \ln (\frac{4}{5})$

Schritt 5.7.3

Faktorisiere $x$ aus $x (\ln (1024)) + x (- 1 \ln (3125))$ heraus.

$x (\ln (1024) - 1 \ln (3125)) = - \ln (\frac{4}{5})$

Schritt 5.8

Schreibe $- 1 \ln (3125)$ als $- \ln (3125)$ um.

$x (\ln (1024) - \ln (3125)) = - \ln (\frac{4}{5})$

Schritt 5.9

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (1024) - \ln (3125)) = - \ln (\frac{4}{5})$ durch $\ln (1024) - \ln (3125)$ und vereinfache.

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Schritt 5.9.1

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (1024) - \ln (3125)) = - \ln (\frac{4}{5})$ durch $\ln (1024) - \ln (3125)$ .

$\frac{x (\ln (1024) - \ln (3125))}{\ln (1024) - \ln (3125)} = \frac{- \ln (\frac{4}{5})}{\ln (1024) - \ln (3125)}$

Schritt 5.9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (1024) - \ln (3125)$ .

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Schritt 5.9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (\ln (1024) - \ln (3125))}{\ln (1024) - \ln (3125)} = \frac{- \ln (\frac{4}{5})}{\ln (1024) - \ln (3125)}$

Schritt 5.9.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{4}{5})}{\ln (1024) - \ln (3125)}$

Schritt 5.9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.9.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{\ln (\frac{4}{5})}{\ln (1024) - \ln (3125)}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{\ln (\frac{4}{5})}{\ln (1024) - \ln (3125)}$

Dezimalform:

$x = - 0.2$