Algebra Beispiele

$\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{8}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{{(y + 3)}^{\frac{1}{3}}}{8}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{{(y + 3)}^{\frac{1}{3}}}{8} = x$ um.

$\frac{{(y + 3)}^{\frac{1}{3}}}{8} = x$

Schritt 2.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $8$ .

$8 \frac{{(y + 3)}^{\frac{1}{3}}}{8} = 8 x$

Schritt 2.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 \frac{{(y + 3)}^{\frac{1}{3}}}{8} = 8 x$

Schritt 2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

${(y + 3)}^{\frac{1}{3}} = 8 x$

Schritt 2.4

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(y + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(8 x)}^{3}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.1.1

Vereinfache ${({(y + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.5.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(y + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.5.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(8 x)}^{3}$

Schritt 2.5.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.5.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y + 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(8 x)}^{3}$

Schritt 2.5.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(y + 3)}^{1} = {(8 x)}^{3}$

Schritt 2.5.1.1.2

Vereinfache.

$y + 3 = {(8 x)}^{3}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Vereinfache ${(8 x)}^{3}$ .

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Schritt 2.5.2.1.1

Wende die Produktregel auf $8 x$ an.

$y + 3 = 8^{3} x^{3}$

Schritt 2.5.2.1.2

Potenziere $8$ mit $3$ .

$y + 3 = 512 x^{3}$

Schritt 2.6

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = 512 x^{3} - 3$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 512 x^{3} - 3$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 512 x^{3} - 3$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{8}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{8})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{8}) = 512 {(\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{8})}^{3} - 3$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{8}$ an.

$f^{- 1} (\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{8}) = 512 (\frac{{({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{8^{3}}) - 3$

Schritt 4.2.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 4.2.3.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{8}) = 512 (\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{8^{3}}) - 3$

Schritt 4.2.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{8}) = 512 (\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{8^{3}}) - 3$

Schritt 4.2.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{8}) = 512 (\frac{x + 3}{8^{3}}) - 3$

Schritt 4.2.3.2.2

Vereinfache.

$f^{- 1} (\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{8}) = 512 (\frac{x + 3}{8^{3}}) - 3$

Schritt 4.2.3.3

Potenziere $8$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{8}) = 512 (\frac{x + 3}{512}) - 3$

Schritt 4.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $512$ .

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Schritt 4.2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{8}) = 512 (\frac{x + 3}{512}) - 3$

Schritt 4.2.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{8}) = x + 3 - 3$

Schritt 4.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 3 - 3$ .

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Schritt 4.2.4.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{8}) = x + 0$

Schritt 4.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{8}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (512 x^{3} - 3)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (512 x^{3} - 3) = \frac{{((512 x^{3} - 3) + 3)}^{\frac{1}{3}}}{8}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $512 x^{3} - 3 + 3$ .

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Schritt 4.3.3.1.1

Addiere $- 3$ und $3$ .

$f (512 x^{3} - 3) = \frac{{(512 x^{3} + 0)}^{\frac{1}{3}}}{8}$

Schritt 4.3.3.1.2

Addiere $512 x^{3}$ und $0$ .

$f (512 x^{3} - 3) = \frac{{(512 x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{8}$

Schritt 4.3.3.2

Wende die Produktregel auf $512 x^{3}$ an.

$f (512 x^{3} - 3) = \frac{512^{\frac{1}{3}} {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{8}$

Schritt 4.3.3.3

Schreibe $512$ als $8^{3}$ um.

$f (512 x^{3} - 3) = \frac{{(8^{3})}^{\frac{1}{3}} {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{8}$

Schritt 4.3.3.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (512 x^{3} - 3) = \frac{8^{3 (\frac{1}{3})} {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{8}$

Schritt 4.3.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (512 x^{3} - 3) = \frac{8^{3 (\frac{1}{3})} {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{8}$

Schritt 4.3.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f (512 x^{3} - 3) = \frac{8 {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{8}$

Schritt 4.3.3.6

Berechne den Exponenten.

$f (512 x^{3} - 3) = \frac{8 {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{8}$

Schritt 4.3.3.7

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 4.3.3.7.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (512 x^{3} - 3) = \frac{8 x^{3 (\frac{1}{3})}}{8}$

Schritt 4.3.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.3.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (512 x^{3} - 3) = \frac{8 x^{3 (\frac{1}{3})}}{8}$

Schritt 4.3.3.7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (512 x^{3} - 3) = \frac{8 x}{8}$

Schritt 4.3.3.8

Vereinfache.

$f (512 x^{3} - 3) = \frac{8 x}{8}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 4.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (512 x^{3} - 3) = \frac{8 x}{8}$

Schritt 4.3.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (512 x^{3} - 3) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 512 x^{3} - 3$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{8}$ .

$f^{- 1} (x) = 512 x^{3} - 3$