Algebra Beispiele

$2 y^{2}$

Schritt 1

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $2 y^{2}$ an.

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Schritt 1.1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 2$

$b = 0$

$c = 0$

Schritt 1.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{0}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 1.1.1.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.1.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 2$ heraus.

$d = \frac{2 (0)}{2 (2)}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.1.1.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{0}{2}$

Schritt 1.1.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 1.1.1.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$d = \frac{2 (0)}{2}$

Schritt 1.1.1.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.1.3.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{0}{1}$

Schritt 1.1.1.3.2.2.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$d = 0$

Schritt 1.1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.4.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$e = 0 - \frac{0}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{0}{8}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.3

Dividiere $0$ durch $8$ .

$e = 0 - 0$

Schritt 1.1.1.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$e = 0 + 0$

Schritt 1.1.1.4.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$e = 0$

Schritt 1.1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $2 y^{2}$ ein.

$2 y^{2}$

Schritt 1.1.2

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = 2 y^{2}$

Schritt 1.2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = 2$

$h = 0$

$k = 0$

Schritt 1.3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach rechts geöffnet.

Öffnet nach Rechts

Schritt 1.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(0, 0)$

Schritt 1.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 1.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 1.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{1}{8}$

Schritt 1.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 1.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur x-Koordinate $h$ gefunden werden, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$(h + p, k)$

Schritt 1.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(\frac{1}{8}, 0)$

Schritt 1.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$y = 0$

Schritt 1.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 1.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die vertikale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der x-Koordinate $h$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$x = h - p$

Schritt 1.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $h$ in die Formel ein und vereinfache.

$x = - \frac{1}{8}$

Schritt 1.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(0, 0)$

Brennpunkt: $(\frac{1}{8}, 0)$

Symmetrieachse: $y = 0$

Leitlinie: $x = - \frac{1}{8}$

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(0, 0)$

Brennpunkt: $(\frac{1}{8}, 0)$

Symmetrieachse: $y = 0$

Leitlinie: $x = - \frac{1}{8}$

Schritt 2

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 2.1

Setze den $x$ -Wert $1$ in $f (x) = \frac{\sqrt{2 x}}{2}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(1, 0.70710678)$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \frac{\sqrt{2 (1)}}{2}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (1) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.1.3

Konvertiere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ nach Dezimal.

$= 0.70710678$

Schritt 2.2

Setze den $x$ -Wert $1$ in $f (x) = - \frac{\sqrt{2 x}}{2}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(1, - 0.70710678)$ .

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Schritt 2.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = - \frac{\sqrt{2 (1)}}{2}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (1) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.2.2.2

Die endgültige Lösung ist $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.2.3

Konvertiere $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ nach Dezimal.

$= - 0.70710678$

Schritt 2.3

Setze den $x$ -Wert $2$ in $f (x) = \frac{\sqrt{2 x}}{2}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(2, 1)$ .

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Schritt 2.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \frac{\sqrt{2 (2)}}{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = \frac{\sqrt{4}}{2}$

Schritt 2.3.2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (2) = \frac{\sqrt{2^{2}}}{2}$

Schritt 2.3.2.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (2) = \frac{2}{2}$

Schritt 2.3.2.2

Dividiere $2$ durch $2$ .

$f (2) = 1$

Schritt 2.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$y = 1$

Schritt 2.3.3

Konvertiere $1$ nach Dezimal.

$= 1$

Schritt 2.4

Setze den $x$ -Wert $2$ in $f (x) = - \frac{\sqrt{2 x}}{2}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(2, - 1)$ .

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Schritt 2.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = - \frac{\sqrt{2 (2)}}{2}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = - \frac{\sqrt{4}}{2}$

Schritt 2.4.2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (2) = - \frac{\sqrt{2^{2}}}{2}$

Schritt 2.4.2.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (2) = - \frac{2}{2}$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2) = - \frac{2}{2}$

Schritt 2.4.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (2) = - 1 \cdot 1$

Schritt 2.4.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (2) = - 1$

Schritt 2.4.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$y = - 1$

Schritt 2.4.3

Konvertiere $- 1$ nach Dezimal.

$= - 1$

Schritt 2.5

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 0.71 \\ 1 & - 0.71 \\ 2 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}$

Schritt 3

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(0, 0)$

Brennpunkt: $(\frac{1}{8}, 0)$

Symmetrieachse: $y = 0$

Leitlinie: $x = - \frac{1}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 0.71 \\ 1 & - 0.71 \\ 2 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}$

Schritt 4