Algebra Beispiele

${(\frac{16}{25})}^{x^{2} + x} = 1$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln ({(\frac{16}{25})}^{x^{2} + x}) = \ln (1)$

Schritt 2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.1

Zerlege $\ln ({(\frac{16}{25})}^{x^{2} + x})$ durch Herausziehen von $x^{2} + x$ aus dem Logarithmus.

$(x^{2} + x) \ln (\frac{16}{25}) = \ln (1)$

Schritt 2.2

Schreibe $\ln (\frac{16}{25})$ als $\ln (16) - \ln (25)$ um.

$(x^{2} + x) (\ln (16) - \ln (25)) = \ln (1)$

Schritt 2.3

Schreibe $\ln (25)$ als $\ln (5^{2})$ um.

$(x^{2} + x) (\ln (16) - \ln (5^{2})) = \ln (1)$

Schritt 2.4

Zerlege $\ln (5^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$(x^{2} + x) (\ln (16) - (2 \ln (5))) = \ln (1)$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(x^{2} + x) (\ln (16) - 2 \ln (5)) = \ln (1)$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $(x^{2} + x) (\ln (16) - 2 \ln (5))$ .

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Schritt 3.1.1

Multipliziere $(x^{2} + x) (\ln (16) - 2 \ln (5))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} (\ln (16) - 2 \ln (5)) + x (\ln (16) - 2 \ln (5)) = \ln (1)$

Schritt 3.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \ln (16) + x^{2} (- 2 \ln (5)) + x (\ln (16) - 2 \ln (5)) = \ln (1)$

Schritt 3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \ln (16) + x^{2} (- 2 \ln (5)) + x \ln (16) + x (- 2 \ln (5)) = \ln (1)$

Schritt 3.1.2

Stelle die Faktoren in $x^{2} \ln (16) + x^{2} (- 2 \ln (5)) + x \ln (16) + x (- 2 \ln (5))$ um.

$x^{2} \ln (16) - 2 x^{2} \ln (5) + x \ln (16) - 2 x \ln (5) = \ln (1)$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$x^{2} \ln (16) - 2 x^{2} \ln (5) + x \ln (16) - 2 x \ln (5) = 0$

Schritt 5

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} \ln (16) - 2 x^{2} \ln (5) + x \ln (16) - 2 x \ln (5)$ heraus.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} \ln (16)$ heraus.

$x (x \ln (16)) - 2 x^{2} \ln (5) + x \ln (16) - 2 x \ln (5) = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x^{2} \ln (5)$ heraus.

$x (x \ln (16)) + x (- 2 x \ln (5)) + x \ln (16) - 2 x \ln (5) = 0$

Schritt 5.3

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (16)$ heraus.

$x (x (\ln (16))) + x (- 2 x \ln (5)) + x (\ln (16)) - 2 x \ln (5) = 0$

Schritt 5.4

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x \ln (5)$ heraus.

$x (x (\ln (16))) + x (- 2 x \ln (5)) + x (\ln (16)) + x (- 2 \ln (5)) = 0$

Schritt 5.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x \ln (16)) + x (- 2 x \ln (5))$ heraus.

$x (x (\ln (16)) - 2 x \ln (5)) + x (\ln (16)) + x (- 2 \ln (5)) = 0$

Schritt 5.6

Faktorisiere $x$ aus $x (x (\ln (16)) - 2 x \ln (5)) + x (\ln (16))$ heraus.

$x (x \ln (16) - 2 x \ln (5) + \ln (16)) + x (- 2 \ln (5)) = 0$

Schritt 5.7

Faktorisiere $x$ aus $x (x \ln (16) - 2 x \ln (5) + \ln (16)) + x (- 2 \ln (5))$ heraus.

$x (x \ln (16) - 2 x \ln (5) + \ln (16) - 2 \ln (5)) = 0$

Schritt 6

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (x (\ln (16) - 2 \ln (5)) + 1 (\ln (16) - 2 \ln (5))) = 0$

Schritt 7

Faktorisiere.

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Schritt 7.1

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $\ln (16) - 2 \ln (5)$ .

$x ((\ln (16) - 2 \ln (5)) (x + 1)) = 0$

Schritt 7.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (\ln (16) - 2 \ln (5)) (x + 1) = 0$

Schritt 8

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 9

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 10

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 10.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 11

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (\ln (16) - 2 \ln (5)) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 1$