Algebra Beispiele

$z^{6} - 9 z^{3} + 8$

Schritt 1

Schreibe $z^{6}$ als ${(z^{3})}^{2}$ um.

${(z^{3})}^{2} - 9 z^{3} + 8$

Schritt 2

Es sei $u = z^{3}$ . Ersetze $u$ für alle $z^{3}$ .

$u^{2} - 9 u + 8$

Schritt 3

Faktorisiere $u^{2} - 9 u + 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $8$ und deren Summe $- 9$ ist.

$- 8, - 1$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 8) (u - 1)$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $z^{3}$ .

$(z^{3} - 8) (z^{3} - 1)$

Schritt 5

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$(z^{3} - 2^{3}) (z^{3} - 1)$

Schritt 6

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = z$ und $b = 2$ .

$(z - 2) (z^{2} + z \cdot 2 + 2^{2}) (z^{3} - 1)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $z$ .

$(z - 2) (z^{2} + 2 z + 2^{2}) (z^{3} - 1)$

Schritt 7.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4) (z^{3} - 1)$

Schritt 8

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4) (z^{3} - 1^{3})$

Schritt 9

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = z$ und $b = 1$ .

$(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4) ((z - 1) (z^{2} + z \cdot 1 + 1^{2}))$

Schritt 10

Faktorisiere.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

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Schritt 10.1.1

Mutltipliziere $z$ mit $1$ .

$(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4) ((z - 1) (z^{2} + z + 1^{2}))$

Schritt 10.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4) ((z - 1) (z^{2} + z + 1))$

Schritt 10.2

Entferne unnötige Klammern.

$(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4) (z - 1) (z^{2} + z + 1)$