Algebra Beispiele

z^{6} - 9 z^{3} + 8

$z^{6} - 9 z^{3} + 8$

Schritt 1

Schreibe

z^{6}

$z^{6}$ als

{(z^{3})}^{2}

${(z^{3})}^{2}$ um.

{(z^{3})}^{2} - 9 z^{3} + 8

${(z^{3})}^{2} - 9 z^{3} + 8$

Schritt 2

Es sei

u = z^{3}

$u = z^{3}$ . Ersetze

u

$u$ für alle

z^{3}

$z^{3}$ .

u^{2} - 9 u + 8

$u^{2} - 9 u + 8$

Schritt 3

Faktorisiere

u^{2} - 9 u + 8

$u^{2} - 9 u + 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt

c

$c$ und deren Summe

b

$b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt

8

$8$ und deren Summe

- 9

$- 9$ ist.

- 8, - 1

$- 8, - 1$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

(u - 8) (u - 1)

$(u - 8) (u - 1)$

(u - 8) (u - 1)

$(u - 8) (u - 1)$

Schritt 4

Ersetze alle

u

$u$ durch

z^{3}

$z^{3}$ .

(z^{3} - 8) (z^{3} - 1)

$(z^{3} - 8) (z^{3} - 1)$

Schritt 5

Schreibe

8

$8$ als

2^{3}

$2^{3}$ um.

(z^{3} - 2^{3}) (z^{3} - 1)

$(z^{3} - 2^{3}) (z^{3} - 1)$

Schritt 6

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme,

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit

a = z

$a = z$ und

b = 2

$b = 2$ .

(z - 2) (z^{2} + z \cdot 2 + 2^{2}) (z^{3} - 1)

$(z - 2) (z^{2} + z \cdot 2 + 2^{2}) (z^{3} - 1)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Bringe

2

$2$ auf die linke Seite von

z

$z$ .

(z - 2) (z^{2} + 2 z + 2^{2}) (z^{3} - 1)

$(z - 2) (z^{2} + 2 z + 2^{2}) (z^{3} - 1)$

Schritt 7.2

Potenziere

2

$2$ mit

2

$2$ .

(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4) (z^{3} - 1)

$(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4) (z^{3} - 1)$

(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4) (z^{3} - 1)

$(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4) (z^{3} - 1)$

Schritt 8

Schreibe

1

$1$ als

1^{3}

$1^{3}$ um.

(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4) (z^{3} - 1^{3})

$(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4) (z^{3} - 1^{3})$

Schritt 9

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme,

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit

a = z

$a = z$ und

b = 1

$b = 1$ .

(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4) ((z - 1) (z^{2} + z \cdot 1 + 1^{2}))

$(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4) ((z - 1) (z^{2} + z \cdot 1 + 1^{2}))$

Schritt 10

Faktorisiere.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

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Schritt 10.1.1

Mutltipliziere

z

$z$ mit

1

$1$ .

(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4) ((z - 1) (z^{2} + z + 1^{2}))

$(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4) ((z - 1) (z^{2} + z + 1^{2}))$

Schritt 10.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4) ((z - 1) (z^{2} + z + 1))

$(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4) ((z - 1) (z^{2} + z + 1))$

(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4) ((z - 1) (z^{2} + z + 1))

$(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4) ((z - 1) (z^{2} + z + 1))$

Schritt 10.2

Entferne unnötige Klammern.

(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4) (z - 1) (z^{2} + z + 1)

$(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4) (z - 1) (z^{2} + z + 1)$

(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4) (z - 1) (z^{2} + z + 1)

$(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4) (z - 1) (z^{2} + z + 1)$