Algebra Beispiele

$f (x) = x {(x + 5)}^{2} (x + 3)$

Schritt 1

Identifiziere den Grad der Funktion.

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Schritt 1.1

Vereinfache und ordne das Polynom neu an.

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Schritt 1.1.1

Schreibe ${(x + 5)}^{2}$ als $(x + 5) (x + 5)$ um.

$x ((x + 5) (x + 5)) (x + 3)$

Schritt 1.1.2

Multipliziere $(x + 5) (x + 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x (x + 5) + 5 (x + 5)) (x + 3)$

Schritt 1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)) (x + 3)$

Schritt 1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) (x + 3)$

Schritt 1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) (x + 3)$

Schritt 1.1.3.1.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$x (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5) (x + 3)$

Schritt 1.1.3.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$x (x^{2} + 5 x + 5 x + 25) (x + 3)$

Schritt 1.1.3.2

Addiere $5 x$ und $5 x$ .

$x (x^{2} + 10 x + 25) (x + 3)$

Schritt 1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$(x \cdot x^{2} + x (10 x) + x \cdot 25) (x + 3)$

Schritt 1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.1.5.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.5.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.5.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(x^{1} x^{2} + x (10 x) + x \cdot 25) (x + 3)$

Schritt 1.1.5.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x^{1 + 2} + x (10 x) + x \cdot 25) (x + 3)$

Schritt 1.1.5.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$(x^{3} + x (10 x) + x \cdot 25) (x + 3)$

Schritt 1.1.5.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(x^{3} + 10 x \cdot x + x \cdot 25) (x + 3)$

Schritt 1.1.5.3

Bringe $25$ auf die linke Seite von $x$ .

$(x^{3} + 10 x \cdot x + 25 \cdot x) (x + 3)$

Schritt 1.1.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.6.1

Bewege $x$ .

$(x^{3} + 10 (x \cdot x) + 25 \cdot x) (x + 3)$

Schritt 1.1.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(x^{3} + 10 x^{2} + 25 \cdot x) (x + 3)$

$(x^{3} + 10 x^{2} + 25 x) (x + 3)$

Schritt 1.1.7

Multipliziere $(x^{3} + 10 x^{2} + 25 x) (x + 3)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$x^{3} x + x^{3} \cdot 3 + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Schritt 1.1.8

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.8.1.1

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.8.1.1.1

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 1.1.8.1.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{3} x^{1} + x^{3} \cdot 3 + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Schritt 1.1.8.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{3 + 1} + x^{3} \cdot 3 + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Schritt 1.1.8.1.1.2

Addiere $3$ und $1$ .

$x^{4} + x^{3} \cdot 3 + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Schritt 1.1.8.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$x^{4} + 3 \cdot x^{3} + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Schritt 1.1.8.1.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.8.1.3.1

Bewege $x$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 (x \cdot x^{2}) + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Schritt 1.1.8.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.8.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 (x^{1} x^{2}) + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Schritt 1.1.8.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{1 + 2} + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Schritt 1.1.8.1.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{3} + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Schritt 1.1.8.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $10$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{3} + 30 x^{2} + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Schritt 1.1.8.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.8.1.5.1

Bewege $x$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{3} + 30 x^{2} + 25 (x \cdot x) + 25 x \cdot 3$

Schritt 1.1.8.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{3} + 30 x^{2} + 25 x^{2} + 25 x \cdot 3$

Schritt 1.1.8.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $25$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{3} + 30 x^{2} + 25 x^{2} + 75 x$

Schritt 1.1.8.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 1.1.8.2.1

Addiere $3 x^{3}$ und $10 x^{3}$ .

$x^{4} + 13 x^{3} + 30 x^{2} + 25 x^{2} + 75 x$

Schritt 1.1.8.2.2

Addiere $30 x^{2}$ und $25 x^{2}$ .

$x^{4} + 13 x^{3} + 55 x^{2} + 75 x$

Schritt 1.2

Der größte Exponent ist der Grad des Polynoms.

$4$

Schritt 2

Da der Grad gerade ist, werden die Enden der Funktion in die gleiche Richtung zeigen.

Gerade

Schritt 3

Identifiziere den Leitkoeffizienten.

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Schritt 3.1

Vereinfache das Polynom, dann ordne es von links nach rechts neu an, beginnend mit dem Term höchsten Grades.

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Schritt 3.1.1

Schreibe ${(x + 5)}^{2}$ als $(x + 5) (x + 5)$ um.

$x ((x + 5) (x + 5)) (x + 3)$

Schritt 3.1.2

Multipliziere $(x + 5) (x + 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x (x + 5) + 5 (x + 5)) (x + 3)$

Schritt 3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)) (x + 3)$

Schritt 3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) (x + 3)$

Schritt 3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) (x + 3)$

Schritt 3.1.3.1.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$x (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5) (x + 3)$

Schritt 3.1.3.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$x (x^{2} + 5 x + 5 x + 25) (x + 3)$

Schritt 3.1.3.2

Addiere $5 x$ und $5 x$ .

$x (x^{2} + 10 x + 25) (x + 3)$

Schritt 3.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$(x \cdot x^{2} + x (10 x) + x \cdot 25) (x + 3)$

Schritt 3.1.5

Vereinfache.

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Schritt 3.1.5.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.5.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.1.5.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(x^{1} x^{2} + x (10 x) + x \cdot 25) (x + 3)$

Schritt 3.1.5.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x^{1 + 2} + x (10 x) + x \cdot 25) (x + 3)$

Schritt 3.1.5.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$(x^{3} + x (10 x) + x \cdot 25) (x + 3)$

Schritt 3.1.5.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(x^{3} + 10 x \cdot x + x \cdot 25) (x + 3)$

Schritt 3.1.5.3

Bringe $25$ auf die linke Seite von $x$ .

$(x^{3} + 10 x \cdot x + 25 \cdot x) (x + 3)$

Schritt 3.1.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.6.1

Bewege $x$ .

$(x^{3} + 10 (x \cdot x) + 25 \cdot x) (x + 3)$

Schritt 3.1.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(x^{3} + 10 x^{2} + 25 \cdot x) (x + 3)$

$(x^{3} + 10 x^{2} + 25 x) (x + 3)$

Schritt 3.1.7

Multipliziere $(x^{3} + 10 x^{2} + 25 x) (x + 3)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$x^{3} x + x^{3} \cdot 3 + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Schritt 3.1.8

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.8.1.1

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.8.1.1.1

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 3.1.8.1.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{3} x^{1} + x^{3} \cdot 3 + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Schritt 3.1.8.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{3 + 1} + x^{3} \cdot 3 + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Schritt 3.1.8.1.1.2

Addiere $3$ und $1$ .

$x^{4} + x^{3} \cdot 3 + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Schritt 3.1.8.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$x^{4} + 3 \cdot x^{3} + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Schritt 3.1.8.1.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.8.1.3.1

Bewege $x$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 (x \cdot x^{2}) + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Schritt 3.1.8.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.8.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 (x^{1} x^{2}) + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Schritt 3.1.8.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{1 + 2} + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Schritt 3.1.8.1.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{3} + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Schritt 3.1.8.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $10$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{3} + 30 x^{2} + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

Schritt 3.1.8.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.8.1.5.1

Bewege $x$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{3} + 30 x^{2} + 25 (x \cdot x) + 25 x \cdot 3$

Schritt 3.1.8.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{3} + 30 x^{2} + 25 x^{2} + 25 x \cdot 3$

Schritt 3.1.8.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $25$ .

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{3} + 30 x^{2} + 25 x^{2} + 75 x$

Schritt 3.1.8.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.1.8.2.1

Addiere $3 x^{3}$ und $10 x^{3}$ .

$x^{4} + 13 x^{3} + 30 x^{2} + 25 x^{2} + 75 x$

Schritt 3.1.8.2.2

Addiere $30 x^{2}$ und $25 x^{2}$ .

$x^{4} + 13 x^{3} + 55 x^{2} + 75 x$

Schritt 3.2

Der Führungsterm in einem Polynom ist der Term mit dem höchsten Grad.

$x^{4}$

Schritt 3.3

Der Leitkoeffizient in einem Polynom ist der Koeffizient des Führungsterms.

$1$

Schritt 4

Da der Leitkoeffizient positiv ist, steigt der Graph nach rechts an.

Positive

Schritt 5

Benutze den Grad der Funktion sowie das Vorzeichen des Leitkoeffizienten, um das Verhalten zu bestimmen.

1. Gerade und Positiv: Steigt nach links und rechts an.

2. Gerade und Negativ: Fällt nach links und nach rechts ab.

3. Ungerade und Positiv: Fällt nach links ab und steigt nach rechts an.

4. Ungerade und Negativ: Steigt nach links an und fällt nach rechts ab

Schritt 6

Bestimme das Verhalten.

Steigt nach links und nach rechts an

Schritt 7