Algebra Beispiele

$\sqrt{8 x^{2} - 72} = 5$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{8 x^{2} - 72}}^{2} = 5^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{8 x^{2} - 72}$ als ${(8 x^{2} - 72)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(8 x^{2} - 72)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 5^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(8 x^{2} - 72)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(8 x^{2} - 72)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(8 x^{2} - 72)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 5^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(8 x^{2} - 72)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 5^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(8 x^{2} - 72)}^{1} = 5^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$8 x^{2} - 72 = 5^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$8 x^{2} - 72 = 25$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Addiere $72$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$8 x^{2} = 25 + 72$

Schritt 3.1.2

Addiere $25$ und $72$ .

$8 x^{2} = 97$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $8 x^{2} = 97$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $8 x^{2} = 97$ durch $8$ .

$\frac{8 x^{2}}{8} = \frac{97}{8}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 x^{2}}{8} = \frac{97}{8}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{97}{8}$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{\frac{97}{8}}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{97}{8}}$ .

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Schritt 3.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{97}{8}}$ als $\frac{\sqrt{97}}{\sqrt{8}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{97}}{\sqrt{8}}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.2.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 3.4.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \pm \frac{\sqrt{97}}{\sqrt{4 (2)}}$

Schritt 3.4.2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{97}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.4.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm \frac{\sqrt{97}}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{97}}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{97}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{97}}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{97} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 3.4.4.2

Bewege $\sqrt{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{97} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 3.4.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{97} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Schritt 3.4.4.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{97} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Schritt 3.4.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{97} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.4.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{97} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 3.4.4.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.4.4.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{97} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.4.4.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{97} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.4.4.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{97} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.4.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.4.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{97} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.4.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{97} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Schritt 3.4.4.7.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt{97} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.5.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{\sqrt{97 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4.5.2

Mutltipliziere $97$ mit $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{194}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{194}}{4}$

Schritt 3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{194}}{4}$

Schritt 3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{194}}{4}$

Schritt 3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{194}}{4}, - \frac{\sqrt{194}}{4}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{\sqrt{194}}{4}, - \frac{\sqrt{194}}{4}$

Dezimalform:

$x = 3.48209706 \dots, - 3.48209706 \dots$