Algebra Beispiele

$\sqrt[3]{18 x^{2} - 81 x} = x$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{18 x^{2} - 81 x}}^{3} = x^{3}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{18 x^{2} - 81 x}$ als ${(18 x^{2} - 81 x)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${({(18 x^{2} - 81 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(18 x^{2} - 81 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(18 x^{2} - 81 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(18 x^{2} - 81 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(18 x^{2} - 81 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(18 x^{2} - 81 x)}^{1} = x^{3}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$18 x^{2} - 81 x = x^{3}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$18 x^{2} - 81 x - x^{3} = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $- x$ aus $18 x^{2} - 81 x - x^{3}$ heraus.

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Schritt 3.2.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 3.2.1.1.1

Bewege $- 81 x$ .

$18 x^{2} - x^{3} - 81 x = 0$

Schritt 3.2.1.1.2

Stelle $18 x^{2}$ und $- x^{3}$ um.

$- x^{3} + 18 x^{2} - 81 x = 0$

Schritt 3.2.1.2

Faktorisiere $- x$ aus $- x^{3}$ heraus.

$- x \cdot x^{2} + 18 x^{2} - 81 x = 0$

Schritt 3.2.1.3

Faktorisiere $- x$ aus $18 x^{2}$ heraus.

$- x \cdot x^{2} - x (- 18 x) - 81 x = 0$

Schritt 3.2.1.4

Faktorisiere $- x$ aus $- 81 x$ heraus.

$- x \cdot x^{2} - x (- 18 x) - x \cdot 81 = 0$

Schritt 3.2.1.5

Faktorisiere $- x$ aus $- x (x^{2}) - x (- 18 x)$ heraus.

$- x (x^{2} - 18 x) - x \cdot 81 = 0$

Schritt 3.2.1.6

Faktorisiere $- x$ aus $- x (x^{2} - 18 x) - x (81)$ heraus.

$- x (x^{2} - 18 x + 81) = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.2.2.1

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$- x (x^{2} - 18 x + 9^{2}) = 0$

Schritt 3.2.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$18 x = 2 \cdot x \cdot 9$

Schritt 3.2.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$- x (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 9 + 9^{2}) = 0$

Schritt 3.2.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 9$ .

$- x {(x - 9)}^{2} = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

${(x - 9)}^{2} = 0$

Schritt 3.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.5

Setze ${(x - 9)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze ${(x - 9)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 9)}^{2} = 0$

Schritt 3.5.2

Löse ${(x - 9)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.2.1

Setze $x - 9$ gleich $0$ .

$x - 9 = 0$

Schritt 3.5.2.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 9$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- x {(x - 9)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = 0, 9$