Algebra Beispiele

${(n p - 1)}^{4}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an, um jeden Term zu bestimmen. Der binomische Lehrsatz sagt ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(n p)}^{4 - k} \cdot {(- 1)}^{k}$

Schritt 2

Multipliziere die Summe aus.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(n p)}^{4 - 0} \cdot {(- 1)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(n p)}^{4 - 1} \cdot {(- 1)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(n p)}^{4 - 2} \cdot {(- 1)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(n p)}^{4 - 3} \cdot {(- 1)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(n p)}^{4 - 4} \cdot {(- 1)}^{4}$

Schritt 3

Vereinfache die Exponenten für jeden Term der Expansion.

$1 \cdot {(n p)}^{4} \cdot {(- 1)}^{0} + 4 \cdot {(n p)}^{3} \cdot {(- 1)}^{1} + 6 \cdot {(n p)}^{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot {(n p)}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(n p)}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere ${(n p)}^{4}$ mit $1$ .

${(n p)}^{4} \cdot {(- 1)}^{0} + 4 \cdot {(n p)}^{3} \cdot {(- 1)}^{1} + 6 \cdot {(n p)}^{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot {(n p)}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(n p)}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $n p$ an.

$n^{4} p^{4} \cdot {(- 1)}^{0} + 4 \cdot {(n p)}^{3} \cdot {(- 1)}^{1} + 6 \cdot {(n p)}^{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot {(n p)}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(n p)}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Schritt 4.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$n^{4} p^{4} \cdot 1 + 4 \cdot {(n p)}^{3} \cdot {(- 1)}^{1} + 6 \cdot {(n p)}^{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot {(n p)}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(n p)}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $n^{4}$ mit $1$ .

$n^{4} p^{4} + 4 \cdot {(n p)}^{3} \cdot {(- 1)}^{1} + 6 \cdot {(n p)}^{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot {(n p)}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(n p)}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Schritt 4.5

Wende die Produktregel auf $n p$ an.

$n^{4} p^{4} + 4 \cdot (n^{3} p^{3}) \cdot {(- 1)}^{1} + 6 \cdot {(n p)}^{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot {(n p)}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(n p)}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Schritt 4.6

Berechne den Exponenten.

$n^{4} p^{4} + 4 n^{3} p^{3} \cdot - 1 + 6 \cdot {(n p)}^{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot {(n p)}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(n p)}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$n^{4} p^{4} - 4 n^{3} p^{3} + 6 \cdot {(n p)}^{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot {(n p)}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(n p)}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Schritt 4.8

Wende die Produktregel auf $n p$ an.

$n^{4} p^{4} - 4 n^{3} p^{3} + 6 \cdot (n^{2} p^{2}) \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot {(n p)}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(n p)}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Schritt 4.9

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$n^{4} p^{4} - 4 n^{3} p^{3} + 6 n^{2} p^{2} \cdot 1 + 4 \cdot {(n p)}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(n p)}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Schritt 4.10

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$n^{4} p^{4} - 4 n^{3} p^{3} + 6 n^{2} p^{2} + 4 \cdot {(n p)}^{1} \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(n p)}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Schritt 4.11

Vereinfache.

$n^{4} p^{4} - 4 n^{3} p^{3} + 6 n^{2} p^{2} + 4 \cdot (n p) \cdot {(- 1)}^{3} + 1 \cdot {(n p)}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Schritt 4.12

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$n^{4} p^{4} - 4 n^{3} p^{3} + 6 n^{2} p^{2} + 4 n p \cdot - 1 + 1 \cdot {(n p)}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Schritt 4.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$n^{4} p^{4} - 4 n^{3} p^{3} + 6 n^{2} p^{2} - 4 n p + 1 \cdot {(n p)}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Schritt 4.14

Mutltipliziere ${(n p)}^{0}$ mit $1$ .

$n^{4} p^{4} - 4 n^{3} p^{3} + 6 n^{2} p^{2} - 4 n p + {(n p)}^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Schritt 4.15

Wende die Produktregel auf $n p$ an.

$n^{4} p^{4} - 4 n^{3} p^{3} + 6 n^{2} p^{2} - 4 n p + n^{0} p^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Schritt 4.16

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$n^{4} p^{4} - 4 n^{3} p^{3} + 6 n^{2} p^{2} - 4 n p + 1 p^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Schritt 4.17

Mutltipliziere $p^{0}$ mit $1$ .

$n^{4} p^{4} - 4 n^{3} p^{3} + 6 n^{2} p^{2} - 4 n p + p^{0} \cdot {(- 1)}^{4}$

Schritt 4.18

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$n^{4} p^{4} - 4 n^{3} p^{3} + 6 n^{2} p^{2} - 4 n p + 1 \cdot {(- 1)}^{4}$

Schritt 4.19

Mutltipliziere ${(- 1)}^{4}$ mit $1$ .

$n^{4} p^{4} - 4 n^{3} p^{3} + 6 n^{2} p^{2} - 4 n p + {(- 1)}^{4}$

Schritt 4.20

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$n^{4} p^{4} - 4 n^{3} p^{3} + 6 n^{2} p^{2} - 4 n p + 1$