Algebra Beispiele

$y = x e^{- x^{2}}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $x e^{- x^{2}}$ nicht definiert ist.

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 2

Die vertikalen Asymptoten treten in Bereichen einer unendlichen Unstetigkeit auf.

Keine vertikalen Asymptoten

Schritt 3

Berechne $lim_{x \to \infty} x e^{- x^{2}}$ , um die horizontale Asymptote zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe $x e^{- x^{2}}$ als $\frac{x}{e^{x^{2}}}$ um.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x^{2}}}$

Schritt 3.2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}$

Schritt 3.2.1.2

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x^{2}}}$

Schritt 3.2.1.3

Da der Exponent $x^{2}$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{x^{2}}$ $\infty$ an.

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 3.2.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 3.2.2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x^{2}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

Schritt 3.2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

Schritt 3.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

Schritt 3.2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.2.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x^{2}} (2 x)}$

Schritt 3.2.3.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.5.1

Stelle die Faktoren von $e^{x^{2}} (2 x)$ um.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 e^{x^{2}} x}$

Schritt 3.2.3.5.2

Stelle die Faktoren in $2 e^{x^{2}} x$ um.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x e^{x^{2}}}$

Schritt 3.3

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x e^{x^{2}}}$

Schritt 3.4

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x e^{x^{2}}}$ $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $0$ .

$0$

Schritt 4

Gib die horizontalen Asymptoten an:

$y = 0$

Schritt 5

Es gibt keine schiefe Asymptote, da der Grad des Zählers kleiner oder gleich dem Grad des Nenners ist.

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Keine vertikalen Asymptoten

Horizontale Asymptoten: $y = 0$

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 7