Algebra Beispiele

$f (x) = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1$ als Gleichung.

$y = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = {(\frac{\sqrt[7]{y}}{10})}^{5} + 1$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[7]{y}}{10}$ an.

$x = \frac{{\sqrt[7]{y}}^{5}}{10^{5}} + 1$

Schritt 3.1.2

Schreibe ${\sqrt[7]{y}}^{5}$ als $\sqrt[7]{y^{5}}$ um.

$x = \frac{\sqrt[7]{y^{5}}}{10^{5}} + 1$

Schritt 3.1.3

Potenziere $10$ mit $5$ .

$x = \frac{\sqrt[7]{y^{5}}}{100000} + 1$

Schritt 3.2

Schreibe die Gleichung als $\frac{\sqrt[7]{y^{5}}}{100000} + 1 = x$ um.

$\frac{\sqrt[7]{y^{5}}}{100000} + 1 = x$

Schritt 3.3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[7]{y^{5}}$ als $y^{\frac{5}{7}}$ neu zu schreiben.

$\frac{y^{\frac{5}{7}}}{100000} + 1 = x$

Schritt 3.4

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y^{\frac{5}{7}}}{100000} - x = - 1$

Schritt 3.4.2

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y^{\frac{5}{7}}}{100000} = - 1 + x$

Schritt 3.5

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $100000$ .

$100000 \frac{y^{\frac{5}{7}}}{100000} = 100000 (- 1 + x)$

Schritt 3.6

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $100000$ .

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Schritt 3.6.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$100000 \frac{y^{\frac{5}{7}}}{100000} = 100000 (- 1 + x)$

Schritt 3.6.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{\frac{5}{7}} = 100000 (- 1 + x)$

Schritt 3.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.6.2.1

Vereinfache $100000 (- 1 + x)$ .

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Schritt 3.6.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{\frac{5}{7}} = 100000 \cdot - 1 + 100000 x$

Schritt 3.6.2.1.2

Mutltipliziere $100000$ mit $- 1$ .

$y^{\frac{5}{7}} = - 100000 + 100000 x$

Schritt 3.7

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{7}{5}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(y^{\frac{5}{7}})}^{\frac{7}{5}} = {(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}$

Schritt 3.8

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.8.1

Vereinfache ${(y^{\frac{5}{7}})}^{\frac{7}{5}}$ .

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Schritt 3.8.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{5}{7}})}^{\frac{7}{5}}$ .

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Schritt 3.8.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{5}} = {(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}$

Schritt 3.8.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.8.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{5}} = {(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}$

Schritt 3.8.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}$

Schritt 3.8.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.8.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}$

Schritt 3.8.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = {(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}$

Schritt 3.8.1.2

Vereinfache.

$y = {(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = {(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = {(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = {(- 100000 + 100000 ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1))}^{\frac{7}{5}}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[7]{x}}{10}$ an.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = {(- 100000 + 100000 (\frac{{\sqrt[7]{x}}^{5}}{10^{5}} + 1))}^{\frac{7}{5}}$

Schritt 5.2.3.1.2

Schreibe ${\sqrt[7]{x}}^{5}$ als $\sqrt[7]{x^{5}}$ um.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = {(- 100000 + 100000 (\frac{\sqrt[7]{x^{5}}}{10^{5}} + 1))}^{\frac{7}{5}}$

Schritt 5.2.3.1.3

Potenziere $10$ mit $5$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = {(- 100000 + 100000 (\frac{\sqrt[7]{x^{5}}}{100000} + 1))}^{\frac{7}{5}}$

Schritt 5.2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = {(- 100000 + 100000 (\frac{\sqrt[7]{x^{5}}}{100000}) + 100000 \cdot 1)}^{\frac{7}{5}}$

Schritt 5.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $100000$ .

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Schritt 5.2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = {(- 100000 + 100000 (\frac{\sqrt[7]{x^{5}}}{100000}) + 100000 \cdot 1)}^{\frac{7}{5}}$

Schritt 5.2.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = {(- 100000 + \sqrt[7]{x^{5}} + 100000 \cdot 1)}^{\frac{7}{5}}$

Schritt 5.2.3.4

Mutltipliziere $100000$ mit $1$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = {(- 100000 + \sqrt[7]{x^{5}} + 100000)}^{\frac{7}{5}}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 100000 + \sqrt[7]{x^{5}} + 100000$ .

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Schritt 5.2.4.1.1

Addiere $- 100000$ und $100000$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = {(0 + \sqrt[7]{x^{5}})}^{\frac{7}{5}}$

Schritt 5.2.4.1.2

Addiere $0$ und $\sqrt[7]{x^{5}}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = {\sqrt[7]{x^{5}}}^{\frac{7}{5}}$

Schritt 5.2.4.2

Schreibe ${\sqrt[7]{x^{5}}}^{\frac{7}{5}}$ als $x$ um.

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Schritt 5.2.4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[7]{x^{5}}$ als $x^{\frac{5}{7}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = {(x^{\frac{5}{7}})}^{\frac{7}{5}}$

Schritt 5.2.4.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = x^{\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{5}}$

Schritt 5.2.4.2.3

Mutltipliziere $\frac{5}{7}$ mit $\frac{7}{5}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = x^{\frac{5 \cdot 7}{7 \cdot 5}}$

Schritt 5.2.4.2.4

Mutltipliziere $5$ mit $7$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = x^{\frac{35}{7 \cdot 5}}$

Schritt 5.2.4.2.5

Mutltipliziere $7$ mit $5$ .

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = x^{\frac{35}{35}}$

Schritt 5.2.4.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $35$ .

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Schritt 5.2.4.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = x^{\frac{35}{35}}$

Schritt 5.2.4.2.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = x$

Schritt 5.2.4.2.7

Vereinfache.

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{\sqrt[7]{{(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}}}{10})}^{5} + 1$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1.1

Schreibe ${(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}$ als ${({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{1}{5}})}^{7}$ um.

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{\sqrt[7]{{({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{1}{5}})}^{7}}}{10})}^{5} + 1$

Schritt 5.3.3.1.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = {(\frac{{(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{1}{5}}}{10})}^{5} + 1$

Schritt 5.3.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{{(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{1}{5}}}{10}$ an.

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = \frac{{({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{10^{5}} + 1$

Schritt 5.3.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 5.3.3.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = \frac{{(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{10^{5}} + 1$

Schritt 5.3.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = \frac{{(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{10^{5}} + 1$

Schritt 5.3.3.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = \frac{- 100000 + 100000 x}{10^{5}} + 1$

Schritt 5.3.3.3.2

Vereinfache.

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = \frac{- 100000 + 100000 x}{10^{5}} + 1$

Schritt 5.3.3.3.3

Faktorisiere $100000$ aus $- 100000 + 100000 x$ heraus.

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Schritt 5.3.3.3.3.1

Faktorisiere $100000$ aus $- 100000$ heraus.

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = \frac{100000 \cdot - 1 + 100000 x}{10^{5}} + 1$

Schritt 5.3.3.3.3.2

Faktorisiere $100000$ aus $100000 \cdot - 1 + 100000 x$ heraus.

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = \frac{100000 (- 1 + x)}{10^{5}} + 1$

Schritt 5.3.3.4

Potenziere $10$ mit $5$ .

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = \frac{100000 (- 1 + x)}{100000} + 1$

Schritt 5.3.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $100000$ .

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Schritt 5.3.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = \frac{100000 (- 1 + x)}{100000} + 1$

Schritt 5.3.3.5.2

Dividiere $- 1 + x$ durch $1$ .

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = - 1 + x + 1$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 1 + x + 1$ .

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f ({(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = {(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = {(\frac{\sqrt[7]{x}}{10})}^{5} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = {(- 100000 + 100000 x)}^{\frac{7}{5}}$