Algebra Beispiele

$\frac{3}{2 x - 1} > \frac{- 5}{x}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{- 5}{x}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{3}{2 x - 1} - \frac{- 5}{x} > 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{3}{2 x - 1} - \frac{- 5}{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3}{2 x - 1} - - \frac{5}{x} > 0$

Schritt 2.1.2

Multipliziere $- - \frac{5}{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{3}{2 x - 1} + 1 \frac{5}{x} > 0$

Schritt 2.1.2.2

Mutltipliziere $\frac{5}{x}$ mit $1$ .

$\frac{3}{2 x - 1} + \frac{5}{x} > 0$

Schritt 2.2

Um $\frac{3}{2 x - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{3}{2 x - 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{5}{x} > 0$

Schritt 2.3

Um $\frac{5}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{3}{2 x - 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{5}{x} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} > 0$

Schritt 2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(2 x - 1) x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2 x - 1}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{3 x}{(2 x - 1) x} + \frac{5}{x} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} > 0$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $\frac{5}{x}$ mit $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{3 x}{(2 x - 1) x} + \frac{5 (2 x - 1)}{x (2 x - 1)} > 0$

Schritt 2.4.3

Stelle die Faktoren von $(2 x - 1) x$ um.

$\frac{3 x}{x (2 x - 1)} + \frac{5 (2 x - 1)}{x (2 x - 1)} > 0$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 x + 5 (2 x - 1)}{x (2 x - 1)} > 0$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x + 5 (2 x) + 5 \cdot - 1}{x (2 x - 1)} > 0$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{3 x + 10 x + 5 \cdot - 1}{x (2 x - 1)} > 0$

Schritt 2.6.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{3 x + 10 x - 5}{x (2 x - 1)} > 0$

Schritt 2.6.4

Addiere $3 x$ und $10 x$ .

$\frac{13 x - 5}{x (2 x - 1)} > 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x = 0$

$13 x - 5 = 0$

$2 x - 1 = 0$

Schritt 4

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$13 x = 5$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $13 x = 5$ durch $13$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $13 x = 5$ durch $13$ .

$\frac{13 x}{13} = \frac{5}{13}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $13$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{13 x}{13} = \frac{5}{13}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5}{13}$

Schritt 6

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 8

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 0$

$x = \frac{5}{13}$

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 9

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 0, \frac{5}{13}, \frac{1}{2}$

Schritt 10

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{13 x - 5}{x (2 x - 1)}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Setze den Nenner in $\frac{13 x - 5}{x (2 x - 1)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x (2 x - 1) = 0$

Schritt 10.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$2 x - 1 = 0$

Schritt 10.2.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 10.2.3

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.3.1

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Schritt 10.2.3.2

Löse $2 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 10.2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 10.2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 10.2.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 10.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (2 x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{1}{2}$

Schritt 10.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Schritt 11

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < \frac{5}{13}$

$\frac{5}{13} < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Schritt 12

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 12.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3}{2 (- 2) - 1} > \frac{- 5}{- 2}$

Schritt 12.1.3

Die linke Seite $- 0.6$ ist nicht größer als die rechte Seite $2.5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 12.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < \frac{5}{13}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < \frac{5}{13}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.19$

Schritt 12.2.2

Ersetze $x$ durch $0.19$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3}{2 (0.19) - 1} > \frac{- 5}{0.19}$

Schritt 12.2.3

Die linke Seite $- 4.83870967$ ist größer als die rechte Seite $- 26.31578947$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 12.3

Teste einen Wert im Intervall $\frac{5}{13} < x < \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{5}{13} < x < \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.44$

Schritt 12.3.2

Ersetze $x$ durch $0.44$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3}{2 (0.44) - 1} > \frac{- 5}{0.44}$

Schritt 12.3.3

Die linke Seite $- 25$ ist nicht größer als die rechte Seite $- 11.\overline{36}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 12.4

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 12.4.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3}{2 (3) - 1} > \frac{- 5}{3}$

Schritt 12.4.3

Die linke Seite $0.6$ ist größer als die rechte Seite $- 1.\overline{6}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 12.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$0 < x < \frac{5}{13}$ Wahr

$\frac{5}{13} < x < \frac{1}{2}$ Falsch

$x > \frac{1}{2}$ Wahr

$x < 0$ Falsch

$0 < x < \frac{5}{13}$ Wahr

$\frac{5}{13} < x < \frac{1}{2}$ Falsch

$x > \frac{1}{2}$ Wahr

Schritt 13

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 < x < \frac{5}{13}$ oder $x > \frac{1}{2}$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$0 < x < \frac{5}{13} or x > \frac{1}{2}$

Intervallschreibweise:

$(0, \frac{5}{13}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Schritt 15