Algebra Beispiele

$\frac{w^{2} - 81}{4 w^{2} + 27 w - 7} \div \frac{w^{2} - 5 w - 36}{w^{2} + 11 w + 28}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{w^{2} - 81}{4 w^{2} + 27 w - 7} \cdot \frac{w^{2} + 11 w + 28}{w^{2} - 5 w - 36}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$\frac{w^{2} - 9^{2}}{4 w^{2} + 27 w - 7} \cdot \frac{w^{2} + 11 w + 28}{w^{2} - 5 w - 36}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = w$ und $b = 9$ .

$\frac{(w + 9) (w - 9)}{4 w^{2} + 27 w - 7} \cdot \frac{w^{2} + 11 w + 28}{w^{2} - 5 w - 36}$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot - 7 = - 28$ und deren Summe gleich $b = 27$ ist.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $27$ aus $27 w$ heraus.

$\frac{(w + 9) (w - 9)}{4 w^{2} + 27 (w) - 7} \cdot \frac{w^{2} + 11 w + 28}{w^{2} - 5 w - 36}$

Schritt 3.1.2

Schreibe $27$ um als $- 1$ plus $28$

$\frac{(w + 9) (w - 9)}{4 w^{2} + (- 1 + 28) w - 7} \cdot \frac{w^{2} + 11 w + 28}{w^{2} - 5 w - 36}$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(w + 9) (w - 9)}{4 w^{2} - 1 w + 28 w - 7} \cdot \frac{w^{2} + 11 w + 28}{w^{2} - 5 w - 36}$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(w + 9) (w - 9)}{(4 w^{2} - 1 w) + 28 w - 7} \cdot \frac{w^{2} + 11 w + 28}{w^{2} - 5 w - 36}$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{(w + 9) (w - 9)}{w (4 w - 1) + 7 (4 w - 1)} \cdot \frac{w^{2} + 11 w + 28}{w^{2} - 5 w - 36}$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 w - 1$ .

$\frac{(w + 9) (w - 9)}{(4 w - 1) (w + 7)} \cdot \frac{w^{2} + 11 w + 28}{w^{2} - 5 w - 36}$

Schritt 4

Faktorisiere $w^{2} + 11 w + 28$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $28$ und deren Summe $11$ ist.

$4, 7$

Schritt 4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(w + 9) (w - 9)}{(4 w - 1) (w + 7)} \cdot \frac{(w + 4) (w + 7)}{w^{2} - 5 w - 36}$

Schritt 5

Faktorisiere $w^{2} - 5 w - 36$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 36$ und deren Summe $- 5$ ist.

$- 9, 4$

Schritt 5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(w + 9) (w - 9)}{(4 w - 1) (w + 7)} \cdot \frac{(w + 4) (w + 7)}{(w - 9) (w + 4)}$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $w - 9$ .

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $w - 9$ aus $(w + 9) (w - 9)$ heraus.

$\frac{(w - 9) (w + 9)}{(4 w - 1) (w + 7)} \cdot \frac{(w + 4) (w + 7)}{(w - 9) (w + 4)}$

Schritt 6.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(w - 9) (w + 9)}{(4 w - 1) (w + 7)} \cdot \frac{(w + 4) (w + 7)}{(w - 9) (w + 4)}$

Schritt 6.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{w + 9}{(4 w - 1) (w + 7)} \cdot \frac{(w + 4) (w + 7)}{w + 4}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $w + 7$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $w + 7$ aus $(4 w - 1) (w + 7)$ heraus.

$\frac{w + 9}{(w + 7) (4 w - 1)} \cdot \frac{(w + 4) (w + 7)}{w + 4}$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $w + 7$ aus $(w + 4) (w + 7)$ heraus.

$\frac{w + 9}{(w + 7) (4 w - 1)} \cdot \frac{(w + 7) (w + 4)}{w + 4}$

Schritt 6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{w + 9}{(w + 7) (4 w - 1)} \cdot \frac{(w + 7) (w + 4)}{w + 4}$

Schritt 6.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{w + 9}{4 w - 1} \cdot \frac{w + 4}{w + 4}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $\frac{w + 9}{4 w - 1}$ mit $\frac{w + 4}{w + 4}$ .

$\frac{(w + 9) (w + 4)}{(4 w - 1) (w + 4)}$

Schritt 6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $w + 4$ .

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Schritt 6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(w + 9) (w + 4)}{(4 w - 1) (w + 4)}$

Schritt 6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{w + 9}{4 w - 1}$