Algebra Beispiele

$x^{2} + y^{2} = 169$ $x^{2} + y = 13$

Schritt 1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = 13 - x^{2}$

$x^{2} + y^{2} = 169$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $13 - x^{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $y$ in $x^{2} + y^{2} = 169$ durch $13 - x^{2}$ .

$x^{2} + {(13 - x^{2})}^{2} = 169$

$y = 13 - x^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $x^{2} + {(13 - x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Schreibe ${(13 - x^{2})}^{2}$ als $(13 - x^{2}) (13 - x^{2})$ um.

$x^{2} + (13 - x^{2}) (13 - x^{2}) = 169$

$y = 13 - x^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Multipliziere $(13 - x^{2}) (13 - x^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 13 (13 - x^{2}) - x^{2} (13 - x^{2}) = 169$

$y = 13 - x^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 13 \cdot 13 + 13 (- x^{2}) - x^{2} (13 - x^{2}) = 169$

$y = 13 - x^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 13 \cdot 13 + 13 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 13 - x^{2} (- x^{2}) = 169$

$y = 13 - x^{2}$

$x^{2} + 13 \cdot 13 + 13 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 13 - x^{2} (- x^{2}) = 169$

$y = 13 - x^{2}$

Schritt 2.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $13$ mit $13$ .

$x^{2} + 169 + 13 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 13 - x^{2} (- x^{2}) = 169$

$y = 13 - x^{2}$

Schritt 2.2.1.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $13$ .

$x^{2} + 169 - 13 x^{2} - x^{2} \cdot 13 - x^{2} (- x^{2}) = 169$

$y = 13 - x^{2}$

Schritt 2.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $13$ mit $- 1$ .

$x^{2} + 169 - 13 x^{2} - 13 x^{2} - x^{2} (- x^{2}) = 169$

$y = 13 - x^{2}$

Schritt 2.2.1.1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} + 169 - 13 x^{2} - 13 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) = 169$

$y = 13 - x^{2}$

Schritt 2.2.1.1.3.1.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.1.3.1.5.1

Bewege $x^{2}$ .

$x^{2} + 169 - 13 x^{2} - 13 x^{2} - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) = 169$

$y = 13 - x^{2}$

Schritt 2.2.1.1.3.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2} + 169 - 13 x^{2} - 13 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) = 169$

$y = 13 - x^{2}$

Schritt 2.2.1.1.3.1.5.3

Addiere $2$ und $2$ .

$x^{2} + 169 - 13 x^{2} - 13 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{4}) = 169$

$y = 13 - x^{2}$

$x^{2} + 169 - 13 x^{2} - 13 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{4}) = 169$

$y = 13 - x^{2}$

Schritt 2.2.1.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x^{2} + 169 - 13 x^{2} - 13 x^{2} + 1 x^{4} = 169$

$y = 13 - x^{2}$

Schritt 2.2.1.1.3.1.7

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$x^{2} + 169 - 13 x^{2} - 13 x^{2} + x^{4} = 169$

$y = 13 - x^{2}$

$x^{2} + 169 - 13 x^{2} - 13 x^{2} + x^{4} = 169$

$y = 13 - x^{2}$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Subtrahiere $13 x^{2}$ von $- 13 x^{2}$ .

$x^{2} + 169 - 26 x^{2} + x^{4} = 169$

$y = 13 - x^{2}$

$x^{2} + 169 - 26 x^{2} + x^{4} = 169$

$y = 13 - x^{2}$

$x^{2} + 169 - 26 x^{2} + x^{4} = 169$

$y = 13 - x^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Subtrahiere $26 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$- 25 x^{2} + 169 + x^{4} = 169$

$y = 13 - x^{2}$

$- 25 x^{2} + 169 + x^{4} = 169$

$y = 13 - x^{2}$

$- 25 x^{2} + 169 + x^{4} = 169$

$y = 13 - x^{2}$

$- 25 x^{2} + 169 + x^{4} = 169$

$y = 13 - x^{2}$

Schritt 3

Löse in $- 25 x^{2} + 169 + x^{4} = 169$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$u^{2} - 25 u + 169 = 169$

$u = x^{2}$

$y = 13 - x^{2}$

Schritt 3.2

Subtrahiere $169$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u^{2} - 25 u + 169 - 169 = 0$

$y = 13 - x^{2}$

Schritt 3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $u^{2} - 25 u + 169 - 169$ .

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $169$ von $169$ .

$u^{2} - 25 u + 0 = 0$

$y = 13 - x^{2}$

Schritt 3.3.2

Addiere $u^{2} - 25 u$ und $0$ .

$u^{2} - 25 u = 0$

$y = 13 - x^{2}$

$u^{2} - 25 u = 0$

$y = 13 - x^{2}$

Schritt 3.4

Faktorisiere $u$ aus $u^{2} - 25 u$ heraus.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $u$ aus $u^{2}$ heraus.

$u \cdot u - 25 u = 0$

$y = 13 - x^{2}$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $u$ aus $- 25 u$ heraus.

$u \cdot u + u \cdot - 25 = 0$

$y = 13 - x^{2}$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot u + u \cdot - 25$ heraus.

$u (u - 25) = 0$

$y = 13 - x^{2}$

$u (u - 25) = 0$

$y = 13 - x^{2}$

Schritt 3.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u = 0$

$u - 25 = 0$

$y = 13 - x^{2}$

Schritt 3.6

Setze $u$ gleich $0$ .

$u = 0$

$y = 13 - x^{2}$

Schritt 3.7

Setze $u - 25$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.7.1

Setze $u - 25$ gleich $0$ .

$u - 25 = 0$

$y = 13 - x^{2}$

Schritt 3.7.2

Addiere $25$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 25$

$y = 13 - x^{2}$

$u = 25$

$y = 13 - x^{2}$

Schritt 3.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $u (u - 25) = 0$ wahr machen.

$u = 0, 25$

$y = 13 - x^{2}$

Schritt 3.9

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = 0$

$x^{2} = 25$

$y = 13 - x^{2}$

Schritt 3.10

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = 0$

$y = 13 - x^{2}$

Schritt 3.11

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.11.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

$y = 13 - x^{2}$

Schritt 3.11.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 3.11.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

$y = 13 - x^{2}$

Schritt 3.11.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

$y = 13 - x^{2}$

Schritt 3.11.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

$y = 13 - x^{2}$

$x = 0$

$y = 13 - x^{2}$

$x = 0$

$y = 13 - x^{2}$

Schritt 3.12

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = 25$

$y = 13 - x^{2}$

Schritt 3.13

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.13.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = 25$

$y = 13 - x^{2}$

Schritt 3.13.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{25}$

$y = 13 - x^{2}$

Schritt 3.13.3

Vereinfache $\pm \sqrt{25}$ .

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Schritt 3.13.3.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

$y = 13 - x^{2}$

Schritt 3.13.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 5$

$y = 13 - x^{2}$

$x = \pm 5$

$y = 13 - x^{2}$

Schritt 3.13.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.13.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 5$

$y = 13 - x^{2}$

Schritt 3.13.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 5$

$y = 13 - x^{2}$

Schritt 3.13.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 5, - 5$

$y = 13 - x^{2}$

$x = 5, - 5$

$y = 13 - x^{2}$

$x = 5, - 5$

$y = 13 - x^{2}$

Schritt 3.14

Die Lösung von $x^{4} - 25 x^{2} + 169 = 169$ ist $x = 0, 5, - 5$ .

$x = 0, 5, - 5$

$y = 13 - x^{2}$

$x = 0, 5, - 5$

$y = 13 - x^{2}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $x$ in $y = 13 - x^{2}$ durch $0$ .

$y = 13 - {(0)}^{2}$

$x = 0$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $13 - {(0)}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 13 - 0$

$x = 0$

Schritt 4.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$y = 13 + 0$

$x = 0$

$y = 13 + 0$

$x = 0$

Schritt 4.2.1.2

Addiere $13$ und $0$ .

$y = 13$

$x = 0$

$y = 13$

$x = 0$

$y = 13$

$x = 0$

$y = 13$

$x = 0$

Schritt 5

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $5$ in jeder Gleichung.

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Schritt 5.1

Ersetze alle $x$ in $y = 13 - x^{2}$ durch $5$ .

$y = 13 - {(5)}^{2}$

$x = 5$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $13 - {(5)}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$y = 13 - 1 \cdot 25$

$x = 5$

Schritt 5.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$y = 13 - 25$

$x = 5$

$y = 13 - 25$

$x = 5$

Schritt 5.2.1.2

Subtrahiere $25$ von $13$ .

$y = - 12$

$x = 5$

$y = - 12$

$x = 5$

$y = - 12$

$x = 5$

$y = - 12$

$x = 5$

Schritt 6

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.1

Ersetze alle $x$ in $y = 13 - x^{2}$ durch $0$ .

$y = 13 - {(0)}^{2}$

$x = 0$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache $13 - {(0)}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 13 - 0$

$x = 0$

Schritt 6.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$y = 13 + 0$

$x = 0$

$y = 13 + 0$

$x = 0$

Schritt 6.2.1.2

Addiere $13$ und $0$ .

$y = 13$

$x = 0$

$y = 13$

$x = 0$

$y = 13$

$x = 0$

$y = 13$

$x = 0$

Schritt 7

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $5$ in jeder Gleichung.

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Schritt 7.1

Ersetze alle $x$ in $y = 13 - x^{2}$ durch $5$ .

$y = 13 - {(5)}^{2}$

$x = 5$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache $13 - {(5)}^{2}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$y = 13 - 1 \cdot 25$

$x = 5$

Schritt 7.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$y = 13 - 25$

$x = 5$

$y = 13 - 25$

$x = 5$

Schritt 7.2.1.2

Subtrahiere $25$ von $13$ .

$y = - 12$

$x = 5$

$y = - 12$

$x = 5$

$y = - 12$

$x = 5$

$y = - 12$

$x = 5$

Schritt 8

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- 5$ in jeder Gleichung.

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Schritt 8.1

Ersetze alle $x$ in $y = 13 - x^{2}$ durch $- 5$ .

$y = 13 - {(- 5)}^{2}$

$x = - 5$

Schritt 8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache $13 - {(- 5)}^{2}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$y = 13 - 1 \cdot 25$

$x = - 5$

Schritt 8.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$y = 13 - 25$

$x = - 5$

$y = 13 - 25$

$x = - 5$

Schritt 8.2.1.2

Subtrahiere $25$ von $13$ .

$y = - 12$

$x = - 5$

$y = - 12$

$x = - 5$

$y = - 12$

$x = - 5$

$y = - 12$

$x = - 5$

Schritt 9

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(0, 13)$

$(5, - 12)$

$(- 5, - 12)$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(0, 13), (5, - 12), (- 5, - 12)$

Gleichungsform:

$x = 0, y = 13$

$x = 5, y = - 12$

$x = - 5, y = - 12$

Schritt 11