Algebra Beispiele

$2 - \frac{x^{2} + 10 x y + 7 y^{2}}{x^{2} + 4 x y + 4 y^{2}}$

Schritt 1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.1

Schreibe $4 y^{2}$ als ${(2 y)}^{2}$ um.

$2 - \frac{x^{2} + 10 x y + 7 y^{2}}{x^{2} + 4 x y + {(2 y)}^{2}}$

Schritt 1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x y = 2 \cdot x \cdot (2 y)$

Schritt 1.3

Schreibe das Polynom neu.

$2 - \frac{x^{2} + 10 x y + 7 y^{2}}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot (2 y) + {(2 y)}^{2}}$

Schritt 1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 2 y$ .

$2 - \frac{x^{2} + 10 x y + 7 y^{2}}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Schritt 2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(x + 2 y)}^{2}}{{(x + 2 y)}^{2}}$ .

$\frac{2 {(x + 2 y)}^{2}}{{(x + 2 y)}^{2}} - \frac{x^{2} + 10 x y + 7 y^{2}}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 {(x + 2 y)}^{2} - (x^{2} + 10 x y + 7 y^{2})}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Schritt 4

Schreibe $\frac{2 {(x + 2 y)}^{2} - (x^{2} + 10 x y + 7 y^{2})}{{(x + 2 y)}^{2}}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.1

Schreibe ${(x + 2 y)}^{2}$ als $(x + 2 y) (x + 2 y)$ um.

$\frac{2 ((x + 2 y) (x + 2 y)) - (x^{2} + 10 x y + 7 y^{2})}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Schritt 4.2

Multipliziere $(x + 2 y) (x + 2 y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (x (x + 2 y) + 2 y (x + 2 y)) - (x^{2} + 10 x y + 7 y^{2})}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (x \cdot x + x (2 y) + 2 y (x + 2 y)) - (x^{2} + 10 x y + 7 y^{2})}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Schritt 4.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (x \cdot x + x (2 y) + 2 y x + 2 y (2 y)) - (x^{2} + 10 x y + 7 y^{2})}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + x (2 y) + 2 y x + 2 y (2 y)) - (x^{2} + 10 x y + 7 y^{2})}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 (x^{2} + 2 x y + 2 y x + 2 y (2 y)) - (x^{2} + 10 x y + 7 y^{2})}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 (x^{2} + 2 x y + 2 y x + 2 \cdot 2 y \cdot y) - (x^{2} + 10 x y + 7 y^{2})}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.4

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.1.4.1

Bewege $y$ .

$\frac{2 (x^{2} + 2 x y + 2 y x + 2 \cdot 2 (y \cdot y)) - (x^{2} + 10 x y + 7 y^{2})}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.4.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{2 (x^{2} + 2 x y + 2 y x + 2 \cdot 2 y^{2}) - (x^{2} + 10 x y + 7 y^{2})}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Schritt 4.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 2 x y + 2 y x + 4 y^{2}) - (x^{2} + 10 x y + 7 y^{2})}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Addiere $2 x y$ und $2 y x$ .

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Schritt 4.3.2.1

Bewege $y$ .

$\frac{2 (x^{2} + 2 x y + 2 x y + 4 y^{2}) - (x^{2} + 10 x y + 7 y^{2})}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Schritt 4.3.2.2

Addiere $2 x y$ und $2 x y$ .

$\frac{2 (x^{2} + 4 x y + 4 y^{2}) - (x^{2} + 10 x y + 7 y^{2})}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Schritt 4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} + 2 (4 x y) + 2 (4 y^{2}) - (x^{2} + 10 x y + 7 y^{2})}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Schritt 4.5

Vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 8 (x y) + 2 (4 y^{2}) - (x^{2} + 10 x y + 7 y^{2})}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 8 (x y) + 8 y^{2} - (x^{2} + 10 x y + 7 y^{2})}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Schritt 4.6

Entferne die Klammern.

$\frac{2 x^{2} + 8 x y + 8 y^{2} - (x^{2} + 10 x y + 7 y^{2})}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Schritt 4.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} + 8 x y + 8 y^{2} - x^{2} - (10 x y) - (7 y^{2})}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Schritt 4.8

Vereinfache.

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Schritt 4.8.1

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 8 x y + 8 y^{2} - x^{2} - 10 (x y) - (7 y^{2})}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Schritt 4.8.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 8 x y + 8 y^{2} - x^{2} - 10 (x y) - 7 y^{2}}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Schritt 4.9

Entferne die Klammern.

$\frac{2 x^{2} + 8 x y + 8 y^{2} - x^{2} - 10 x y - 7 y^{2}}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Schritt 4.10

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 8 x y + 8 y^{2} - 10 x y - 7 y^{2}}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Schritt 4.11

Subtrahiere $10 x y$ von $8 x y$ .

$\frac{x^{2} + 8 y^{2} - 2 x y - 7 y^{2}}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Schritt 4.12

Subtrahiere $7 y^{2}$ von $8 y^{2}$ .

$\frac{x^{2} + y^{2} - 2 x y}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Schritt 4.13

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 4.13.1

Ordne Terme um.

$\frac{x^{2} - 2 x y + y^{2}}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Schritt 4.13.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x y = 2 \cdot x \cdot y$

Schritt 4.13.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot y + y^{2}}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Schritt 4.13.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = y$ .

$\frac{{(x - y)}^{2}}{{(x + 2 y)}^{2}}$