Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{\sqrt[5]{3 (x + 8)}}{10}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{\sqrt[5]{3 (x + 8)}}{10}$ als Gleichung.

$y = \frac{\sqrt[5]{3 (x + 8)}}{10}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{\sqrt[5]{3 (y + 8)}}{10}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{\sqrt[5]{3 (y + 8)}}{10} = x$ um.

$\frac{\sqrt[5]{3 (y + 8)}}{10} = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten mit $10$ .

$\frac{\sqrt[5]{3 (y + 8)}}{10} \cdot 10 = x \cdot 10$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt[5]{3 (y + 8)}}{10} \cdot 10 = x \cdot 10$

Schritt 3.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt[5]{3 (y + 8)} = x \cdot 10$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Bringe $10$ auf die linke Seite von $x$ .

$\sqrt[5]{3 (y + 8)} = 10 x$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur $5$ . Potenz.

${\sqrt[5]{3 (y + 8)}}^{5} = {(10 x)}^{5}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{3 (y + 8)}$ als ${(3 (y + 8))}^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

${({(3 (y + 8))}^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(10 x)}^{5}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Vereinfache ${({(3 (y + 8))}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 (y + 8))}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 (y + 8))}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(10 x)}^{5}$

Schritt 3.4.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(3 (y + 8))}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(10 x)}^{5}$

Schritt 3.4.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(3 (y + 8))}^{1} = {(10 x)}^{5}$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

${(3 y + 3 \cdot 8)}^{1} = {(10 x)}^{5}$

Schritt 3.4.2.2.1.3

Multipliziere.

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Schritt 3.4.2.2.1.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

${(3 y + 24)}^{1} = {(10 x)}^{5}$

Schritt 3.4.2.2.1.3.2

Vereinfache.

$3 y + 24 = {(10 x)}^{5}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.3.1

Vereinfache ${(10 x)}^{5}$ .

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Schritt 3.4.2.3.1.1

Wende die Produktregel auf $10 x$ an.

$3 y + 24 = 10^{5} x^{5}$

Schritt 3.4.2.3.1.2

Potenziere $10$ mit $5$ .

$3 y + 24 = 100000 x^{5}$

Schritt 3.4.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.3.1

Subtrahiere $24$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y = 100000 x^{5} - 24$

Schritt 3.4.3.2

Teile jeden Ausdruck in $3 y = 100000 x^{5} - 24$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = 100000 x^{5} - 24$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{100000 x^{5}}{3} + \frac{- 24}{3}$

Schritt 3.4.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{100000 x^{5}}{3} + \frac{- 24}{3}$

Schritt 3.4.3.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{100000 x^{5}}{3} + \frac{- 24}{3}$

Schritt 3.4.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.2.3.1

Dividiere $- 24$ durch $3$ .

$y = \frac{100000 x^{5}}{3} - 8$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{100000 x^{5}}{3} - 8$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{100000 x^{5}}{3} - 8$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{\sqrt[5]{3 (x + 8)}}{10}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{3 (x + 8)}}{10})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{3 (x + 8)}}{10}) = \frac{100000 {(\frac{\sqrt[5]{3 (x + 8)}}{10})}^{5}}{3} - 8$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[5]{3 (x + 8)}}{10}$ an.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{3 (x + 8)}}{10}) = \frac{100000 (\frac{{\sqrt[5]{3 (x + 8)}}^{5}}{10^{5}})}{3} - 8$

Schritt 5.2.3.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Schreibe ${\sqrt[5]{3 (x + 8)}}^{5}$ als $3 (x + 8)$ um.

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Schritt 5.2.3.1.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{3 (x + 8)}$ als ${(3 (x + 8))}^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{3 (x + 8)}}{10}) = \frac{100000 (\frac{{({(3 (x + 8))}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{10^{5}})}{3} - 8$

Schritt 5.2.3.1.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{3 (x + 8)}}{10}) = \frac{100000 (\frac{{(3 (x + 8))}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{10^{5}})}{3} - 8$

Schritt 5.2.3.1.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $5$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{3 (x + 8)}}{10}) = \frac{100000 (\frac{{(3 (x + 8))}^{\frac{5}{5}}}{10^{5}})}{3} - 8$

Schritt 5.2.3.1.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.3.1.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{3 (x + 8)}}{10}) = \frac{100000 (\frac{{(3 (x + 8))}^{\frac{5}{5}}}{10^{5}})}{3} - 8$

Schritt 5.2.3.1.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{3 (x + 8)}}{10}) = \frac{100000 (\frac{3 (x + 8)}{10^{5}})}{3} - 8$

Schritt 5.2.3.1.2.1.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{3 (x + 8)}}{10}) = \frac{100000 (\frac{3 (x + 8)}{10^{5}})}{3} - 8$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{3 (x + 8)}}{10}) = \frac{100000 (\frac{3 x + 3 \cdot 8}{10^{5}})}{3} - 8$

Schritt 5.2.3.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{3 (x + 8)}}{10}) = \frac{100000 (\frac{3 x + 24}{10^{5}})}{3} - 8$

Schritt 5.2.3.1.2.4

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 24$ heraus.

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Schritt 5.2.3.1.2.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{3 (x + 8)}}{10}) = \frac{100000 (\frac{3 (x) + 24}{10^{5}})}{3} - 8$

Schritt 5.2.3.1.2.4.2

Faktorisiere $3$ aus $24$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{3 (x + 8)}}{10}) = \frac{100000 (\frac{3 x + 3 \cdot 8}{10^{5}})}{3} - 8$

Schritt 5.2.3.1.2.4.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 3 \cdot 8$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{3 (x + 8)}}{10}) = \frac{100000 (\frac{3 (x + 8)}{10^{5}})}{3} - 8$

Schritt 5.2.3.1.3

Potenziere $10$ mit $5$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{3 (x + 8)}}{10}) = \frac{100000 (\frac{3 (x + 8)}{100000})}{3} - 8$

Schritt 5.2.3.2

Kombiniere $100000$ und $\frac{3 (x + 8)}{100000}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{3 (x + 8)}}{10}) = \frac{\frac{100000 (3 (x + 8))}{100000}}{3} - 8$

Schritt 5.2.3.3

Mutltipliziere $100000$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{3 (x + 8)}}{10}) = \frac{\frac{300000 (x + 8)}{100000}}{3} - 8$

Schritt 5.2.3.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.4.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{300000 (x + 8)}{100000}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.4.1.1

Faktorisiere $100000$ aus $300000 (x + 8)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{3 (x + 8)}}{10}) = \frac{\frac{100000 (3 (x + 8))}{100000}}{3} - 8$

Schritt 5.2.3.4.1.2

Faktorisiere $100000$ aus $100000$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{3 (x + 8)}}{10}) = \frac{\frac{100000 (3 (x + 8))}{100000 (1)}}{3} - 8$

Schritt 5.2.3.4.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{3 (x + 8)}}{10}) = \frac{\frac{100000 (3 (x + 8))}{100000 \cdot 1}}{3} - 8$

Schritt 5.2.3.4.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{3 (x + 8)}}{10}) = \frac{\frac{3 (x + 8)}{1}}{3} - 8$

Schritt 5.2.3.4.2

Dividiere $3 (x + 8)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{3 (x + 8)}}{10}) = \frac{3 (x + 8)}{3} - 8$

Schritt 5.2.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{3 (x + 8)}}{10}) = \frac{3 (x + 8)}{3} - 8$

Schritt 5.2.3.5.2

Dividiere $x + 8$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{3 (x + 8)}}{10}) = x + 8 - 8$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 8 - 8$ .

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Schritt 5.2.4.1

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{3 (x + 8)}}{10}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[5]{3 (x + 8)}}{10}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{100000 x^{5}}{3} - 8)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{100000 x^{5}}{3} - 8) = \frac{\sqrt[5]{3 ((\frac{100000 x^{5}}{3} - 8) + 8)}}{10}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Um $- 8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{100000 x^{5}}{3} - 8) = \frac{\sqrt[5]{3 (\frac{100000 x^{5}}{3} - 8 \cdot \frac{3}{3} + 8)}}{10}$

Schritt 5.3.3.2

Kombiniere $- 8$ und $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{100000 x^{5}}{3} - 8) = \frac{\sqrt[5]{3 (\frac{100000 x^{5}}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + 8)}}{10}$

Schritt 5.3.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{100000 x^{5}}{3} - 8) = \frac{\sqrt[5]{3 (\frac{100000 x^{5} - 8 \cdot 3}{3} + 8)}}{10}$

Schritt 5.3.3.4

Um $8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{100000 x^{5}}{3} - 8) = \frac{\sqrt[5]{3 (\frac{100000 x^{5} - 8 \cdot 3}{3} + 8 \cdot \frac{3}{3})}}{10}$

Schritt 5.3.3.5

Kombiniere $8$ und $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{100000 x^{5}}{3} - 8) = \frac{\sqrt[5]{3 (\frac{100000 x^{5} - 8 \cdot 3}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3})}}{10}$

Schritt 5.3.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{100000 x^{5}}{3} - 8) = \frac{\sqrt[5]{3 (\frac{100000 x^{5} - 8 \cdot 3 + 8 \cdot 3}{3})}}{10}$

Schritt 5.3.3.7

Stelle die Terme um.

$f (\frac{100000 x^{5}}{3} - 8) = \frac{\sqrt[5]{3 (\frac{100000 x^{5} + 3 \cdot 8 - 8 \cdot 3}{3})}}{10}$

Schritt 5.3.3.8

Schreibe $\frac{100000 x^{5} + 3 \cdot 8 - 8 \cdot 3}{3}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.3.8.1

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$f (\frac{100000 x^{5}}{3} - 8) = \frac{\sqrt[5]{3 (\frac{100000 x^{5} + 24 - 8 \cdot 3}{3})}}{10}$

Schritt 5.3.3.8.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $3$ .

$f (\frac{100000 x^{5}}{3} - 8) = \frac{\sqrt[5]{3 (\frac{100000 x^{5} + 24 - 24}{3})}}{10}$

Schritt 5.3.3.8.3

Subtrahiere $24$ von $24$ .

$f (\frac{100000 x^{5}}{3} - 8) = \frac{\sqrt[5]{3 (\frac{100000 x^{5} + 0}{3})}}{10}$

Schritt 5.3.3.8.4

Addiere $100000 x^{5}$ und $0$ .

$f (\frac{100000 x^{5}}{3} - 8) = \frac{\sqrt[5]{3 (\frac{100000 x^{5}}{3})}}{10}$

Schritt 5.3.3.9

Kombiniere $3$ und $\frac{100000 x^{5}}{3}$ .

$f (\frac{100000 x^{5}}{3} - 8) = \frac{\sqrt[5]{\frac{3 (100000 x^{5})}{3}}}{10}$

Schritt 5.3.3.10

Mutltipliziere $3$ mit $100000$ .

$f (\frac{100000 x^{5}}{3} - 8) = \frac{\sqrt[5]{\frac{300000 x^{5}}{3}}}{10}$

Schritt 5.3.3.11

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.11.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{300000 x^{5}}{3}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.11.1.1

Faktorisiere $3$ aus $300000 x^{5}$ heraus.

$f (\frac{100000 x^{5}}{3} - 8) = \frac{\sqrt[5]{\frac{3 (100000 x^{5})}{3}}}{10}$

Schritt 5.3.3.11.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$f (\frac{100000 x^{5}}{3} - 8) = \frac{\sqrt[5]{\frac{3 (100000 x^{5})}{3 (1)}}}{10}$

Schritt 5.3.3.11.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{100000 x^{5}}{3} - 8) = \frac{\sqrt[5]{\frac{3 (100000 x^{5})}{3 \cdot 1}}}{10}$

Schritt 5.3.3.11.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{100000 x^{5}}{3} - 8) = \frac{\sqrt[5]{\frac{100000 x^{5}}{1}}}{10}$

Schritt 5.3.3.11.2

Dividiere $100000 x^{5}$ durch $1$ .

$f (\frac{100000 x^{5}}{3} - 8) = \frac{\sqrt[5]{100000 x^{5}}}{10}$

Schritt 5.3.3.12

Schreibe $100000 x^{5}$ als ${(10 x)}^{5}$ um.

$f (\frac{100000 x^{5}}{3} - 8) = \frac{\sqrt[5]{{(10 x)}^{5}}}{10}$

Schritt 5.3.3.13

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f (\frac{100000 x^{5}}{3} - 8) = \frac{10 x}{10}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{100000 x^{5}}{3} - 8) = \frac{10 x}{10}$

Schritt 5.3.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\frac{100000 x^{5}}{3} - 8) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{100000 x^{5}}{3} - 8$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{\sqrt[5]{3 (x + 8)}}{10}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{100000 x^{5}}{3} - 8$