Algebra Beispiele

$\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3}{4} \cdot (\log_{5} (405) - \log_{5} (5))$

Schritt 1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache $\frac{3}{4} \cdot (\log_{5} (405) - \log_{5} (5))$ .

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Schritt 1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3}{4} \log_{5} (405) + \frac{3}{4} (- \log_{5} (5))$

Schritt 1.1.2

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $\log_{5} (405)$ .

$\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} + \frac{3}{4} (- \log_{5} (5))$

Schritt 1.1.3

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $\log_{5} (5)$ .

$\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} - \frac{3 \log_{5} (5)}{4}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Term in $\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} - \frac{3 \log_{5} (5)}{4}$ mit $4$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Term in $\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} - \frac{3 \log_{5} (5)}{4}$ mit $4$ .

$\log_{5} (3 k + 12) \cdot 4 = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} \cdot 4 - \frac{3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\log_{5} (3 k + 12)$ .

$4 \log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} \cdot 4 - \frac{3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} \cdot 4 - \frac{3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

Schritt 2.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$4 \log_{5} (3 k + 12) = 3 \log_{5} (405) - \frac{3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

Schritt 2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3 \log_{5} (5)}{4}$ in den Zähler.

$4 \log_{5} (3 k + 12) = 3 \log_{5} (405) + \frac{- 3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

Schritt 2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \log_{5} (3 k + 12) = 3 \log_{5} (405) + \frac{- 3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

Schritt 2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 \log_{5} (3 k + 12) = 3 \log_{5} (405) - 3 \log_{5} (5)$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $4 \log_{5} (3 k + 12)$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) = 3 \log_{5} (405) - 3 \log_{5} (5)$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Vereinfache $3 \log_{5} (405)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) = \log_{5} (405^{3}) - 3 \log_{5} (5)$

Schritt 4.1.2

Potenziere $405$ mit $3$ .

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) = \log_{5} (66430125) - 3 \log_{5} (5)$

Schritt 4.1.3

Die logarithmische Basis $5$ von $5$ ist $1$ .

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) = \log_{5} (66430125) - 3 \cdot 1$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) = \log_{5} (66430125) - 3$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) - \log_{5} (66430125) = - 3$

Schritt 6

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{{(3 k + 12)}^{4}}{66430125}) = - 3$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $3$ aus $3 k + 12$ heraus.

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 k$ heraus.

$\log_{5} (\frac{{(3 (k) + 12)}^{4}}{66430125}) = - 3$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$\log_{5} (\frac{{(3 k + 3 \cdot 4)}^{4}}{66430125}) = - 3$

Schritt 7.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 k + 3 \cdot 4$ heraus.

$\log_{5} (\frac{{(3 (k + 4))}^{4}}{66430125}) = - 3$

Schritt 7.2

Wende die Produktregel auf $3 (k + 4)$ an.

$\log_{5} (\frac{3^{4} {(k + 4)}^{4}}{66430125}) = - 3$

Schritt 7.3

Potenziere $3$ mit $4$ .

$\log_{5} (\frac{81 {(k + 4)}^{4}}{66430125}) = - 3$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $81$ und $66430125$ .

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Schritt 8.1

Faktorisiere $81$ aus $81 {(k + 4)}^{4}$ heraus.

$\log_{5} (\frac{81 ({(k + 4)}^{4})}{66430125}) = - 3$

Schritt 8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere $81$ aus $66430125$ heraus.

$\log_{5} (\frac{81 {(k + 4)}^{4}}{81 \cdot 820125}) = - 3$

Schritt 8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{5} (\frac{81 {(k + 4)}^{4}}{81 \cdot 820125}) = - 3$

Schritt 8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log_{5} (\frac{{(k + 4)}^{4}}{820125}) = - 3$

Schritt 9

Schreibe $\log_{5} (\frac{{(k + 4)}^{4}}{820125}) = - 3$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$5^{- 3} = \frac{{(k + 4)}^{4}}{820125}$

Schritt 10

Löse nach $k$ auf.

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Schritt 10.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{{(k + 4)}^{4}}{820125} = 5^{- 3}$ um.

$\frac{{(k + 4)}^{4}}{820125} = 5^{- 3}$

Schritt 10.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $820125$ .

$820125 \frac{{(k + 4)}^{4}}{820125} = 820125 \cdot 5^{- 3}$

Schritt 10.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 10.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $820125$ .

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Schritt 10.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$820125 \frac{{(k + 4)}^{4}}{820125} = 820125 \cdot 5^{- 3}$

Schritt 10.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

${(k + 4)}^{4} = 820125 \cdot 5^{- 3}$

Schritt 10.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.3.2.1

Vereinfache $820125 \cdot 5^{- 3}$ .

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Schritt 10.3.2.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(k + 4)}^{4} = 820125 \cdot \frac{1}{5^{3}}$

Schritt 10.3.2.1.2

Potenziere $5$ mit $3$ .

${(k + 4)}^{4} = 820125 \cdot \frac{1}{125}$

Schritt 10.3.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $125$ .

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Schritt 10.3.2.1.3.1

Faktorisiere $125$ aus $820125$ heraus.

${(k + 4)}^{4} = 125 (6561) \cdot \frac{1}{125}$

Schritt 10.3.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(k + 4)}^{4} = 125 \cdot 6561 \cdot \frac{1}{125}$

Schritt 10.3.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

${(k + 4)}^{4} = 6561$

Schritt 10.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$k + 4 = \pm \sqrt[4]{6561}$

Schritt 10.5

Vereinfache $\pm \sqrt[4]{6561}$ .

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Schritt 10.5.1

Schreibe $6561$ als $9^{4}$ um.

$k + 4 = \pm \sqrt[4]{9^{4}}$

Schritt 10.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$k + 4 = \pm 9$

Schritt 10.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 10.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$k + 4 = 9$

Schritt 10.6.2

Bringe alle Terme, die nicht $k$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 10.6.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$k = 9 - 4$

Schritt 10.6.2.2

Subtrahiere $4$ von $9$ .

$k = 5$

Schritt 10.6.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$k + 4 = - 9$

Schritt 10.6.4

Bringe alle Terme, die nicht $k$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 10.6.4.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$k = - 9 - 4$

Schritt 10.6.4.2

Subtrahiere $4$ von $- 9$ .

$k = - 13$

Schritt 10.6.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$k = 5, - 13$

Schritt 11

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3}{4} \cdot (\log_{5} (405) - \log_{5} (5))$ nicht erfüllen.

$k = 5$