Algebra Beispiele

$\frac{1 + \sqrt{5}}{5 + \sqrt{5}}$

Schritt 1

Mutltipliziere $\frac{1 + \sqrt{5}}{5 + \sqrt{5}}$ mit $\frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}$ .

$\frac{1 + \sqrt{5}}{5 + \sqrt{5}} \cdot \frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}$

Schritt 2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{1 + \sqrt{5}}{5 + \sqrt{5}}$ mit $\frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}$ .

$\frac{(1 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}{(5 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}$

Schritt 2.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(1 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}{25 - 5 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 5 - {\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

$\frac{(1 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}{20}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Multipliziere $(1 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 (5 - \sqrt{5}) + \sqrt{5} (5 - \sqrt{5})}{20}$

Schritt 3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 \cdot 5 + 1 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} (5 - \sqrt{5})}{20}$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 \cdot 5 + 1 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}$

Schritt 3.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{5 + 1 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $- \sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}$

Schritt 3.2.1.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\sqrt{5}$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}$

Schritt 3.2.1.4

Multipliziere $\sqrt{5} (- \sqrt{5})$ .

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Schritt 3.2.1.4.1

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}{20}$

Schritt 3.2.1.4.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}{20}$

Schritt 3.2.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{1 + 1}}{20}$

Schritt 3.2.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2}}{20}$

Schritt 3.2.1.5

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 3.2.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{20}$

Schritt 3.2.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{20}$

Schritt 3.2.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{20}$

Schritt 3.2.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{20}$

Schritt 3.2.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{1}}{20}$

Schritt 3.2.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 1 \cdot 5}{20}$

Schritt 3.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{5 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5}{20}$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$\frac{0 - \sqrt{5} + 5 \sqrt{5}}{20}$

Schritt 3.2.3

Subtrahiere $\sqrt{5}$ von $0$ .

$\frac{- \sqrt{5} + 5 \sqrt{5}}{20}$

Schritt 3.2.4

Addiere $- \sqrt{5}$ und $5 \sqrt{5}$ .

$\frac{4 \sqrt{5}}{20}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $20$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \sqrt{5}$ heraus.

$\frac{4 (\sqrt{5})}{20}$

Schritt 4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$\frac{4 \sqrt{5}}{4 \cdot 5}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \sqrt{5}}{4 \cdot 5}$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

Dezimalform:

$0.44721359 \dots$