Algebra Beispiele

$3 \log_{3} (X) = - \log_{3} (27)$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Vereinfache $3 \log_{3} (X)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{3} (X^{3}) = - \log_{3} (27)$

Schritt 1.2

Vereinfache $- \log_{3} (27)$ , indem du $- 1$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{3} (X^{3}) = \log_{3} (27^{- 1})$

Schritt 2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$X^{3} = 27^{- 1}$

Schritt 3

Löse nach $X$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $27^{- 1}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$X^{3} - 27^{- 1} = 0$

Schritt 3.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$X^{3} - \frac{1}{27} = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Schreibe $\frac{1}{27}$ als ${(\frac{1}{3})}^{3}$ um.

$X^{3} - {(\frac{1}{3})}^{3} = 0$

Schritt 3.3.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = X$ und $b = \frac{1}{3}$ .

$(X - \frac{1}{3}) (X^{2} + X (\frac{1}{3}) + {(\frac{1}{3})}^{2}) = 0$

Schritt 3.3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.3.1

Kombiniere $X$ und $\frac{1}{3}$ .

$(X - \frac{1}{3}) (X^{2} + \frac{X}{3} + {(\frac{1}{3})}^{2}) = 0$

Schritt 3.3.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$(X - \frac{1}{3}) (X^{2} + \frac{X}{3} + \frac{1^{2}}{3^{2}}) = 0$

Schritt 3.3.3.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(X - \frac{1}{3}) (X^{2} + \frac{X}{3} + \frac{1}{3^{2}}) = 0$

Schritt 3.3.3.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$(X - \frac{1}{3}) (X^{2} + \frac{X}{3} + \frac{1}{9}) = 0$

Schritt 3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$X - \frac{1}{3} = 0$

$X^{2} + \frac{X}{3} + \frac{1}{9} = 0$

Schritt 3.5

Setze $X - \frac{1}{3}$ gleich $0$ und löse nach $X$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $X - \frac{1}{3}$ gleich $0$ .

$X - \frac{1}{3} = 0$

Schritt 3.5.2

Addiere $\frac{1}{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$X = \frac{1}{3}$

Schritt 3.6

Setze $X^{2} + \frac{X}{3} + \frac{1}{9}$ gleich $0$ und löse nach $X$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $X^{2} + \frac{X}{3} + \frac{1}{9}$ gleich $0$ .

$X^{2} + \frac{X}{3} + \frac{1}{9} = 0$

Schritt 3.6.2

Löse $X^{2} + \frac{X}{3} + \frac{1}{9} = 0$ nach $X$ auf.

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Schritt 3.6.2.1

Multipliziere mit dem Hauptnenner $9$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 3.6.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$9 X^{2} + 9 (\frac{X}{3}) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Schritt 3.6.2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 3.6.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.6.2.1.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$9 X^{2} + 3 (3) (\frac{X}{3}) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Schritt 3.6.2.1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 X^{2} + 3 \cdot (3 (\frac{X}{3})) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Schritt 3.6.2.1.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$9 X^{2} + 3 X + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Schritt 3.6.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 3.6.2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 X^{2} + 3 X + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

Schritt 3.6.2.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$9 X^{2} + 3 X + 1 = 0$

Schritt 3.6.2.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.6.2.3

Setze die Werte $a = 9$ , $b = 3$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $X$ auf.

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (9 \cdot 1)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.6.2.4

Vereinfache.

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Schritt 3.6.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.2.4.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.6.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 9 \cdot 1$ .

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Schritt 3.6.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.6.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 36$ mit $1$ .

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.6.2.4.1.3

Subtrahiere $36$ von $9$ .

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.6.2.4.1.4

Schreibe $- 27$ als $- 1 (27)$ um.

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.6.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (27)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ um.

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.6.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$X = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.6.2.4.1.7

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 3.6.2.4.1.7.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$X = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.6.2.4.1.7.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$X = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.6.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$X = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.6.2.4.1.9

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$X = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.6.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$X = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$

Schritt 3.6.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$ .

$X = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{6}$

Schritt 3.6.2.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$X = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(X - \frac{1}{3}) (X^{2} + \frac{X}{3} + \frac{1}{9}) = 0$ wahr machen.

$X = \frac{1}{3}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}$