Algebra Beispiele

$f (x) = \arcsin (\sin (x))$

Schritt 1

Setze das Argument in $\arcsin (\sin (x))$ größer oder gleich $- 1$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck definiert ist.

$\sin (x) \geq - 1$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x \geq \arcsin (- 1)$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (- 1)$ ist $- \frac{π}{2}$ .

$x \geq - \frac{π}{2}$

Schritt 2.3

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 2.4.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Schritt 2.4.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{2}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 2.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 2.6

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 2.6.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{2}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Schritt 2.6.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.6.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.6.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.6.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 2.6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Schritt 2.6.4.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Schritt 2.6.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 2.7

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.8

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$

Schritt 2.10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.10.1

Teste einen Wert im Intervall $\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 2.10.1.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sin (8) \geq - 1$

Schritt 2.10.1.3

Die linke Seite $0.98935824$ ist größer als die rechte Seite $- 1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.10.2

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ Wahr

Schritt 2.11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$\frac{3 π}{2} + 2 π n \leq x \leq \frac{7 π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3

Setze das Argument in $\arcsin (\sin (x))$ kleiner oder gleich $1$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck definiert ist.

$\sin (x) \leq 1$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x \leq \arcsin (1)$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (1)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x \leq \frac{π}{2}$

Schritt 4.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - \frac{π}{2}$

Schritt 4.4

Vereinfache $π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 4.4.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 4.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.4.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 4.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 4.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Schritt 4.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 4.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 4.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 4.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 4.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 4.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4.7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$

Schritt 4.8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 4.8.1

Teste einen Wert im Intervall $\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 4.8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 5$

Schritt 4.8.1.2

Ersetze $x$ durch $5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sin (5) \leq 1$

Schritt 4.8.1.3

Die linke Seite $- 0.95892427$ ist kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 4.8.2

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$\frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ Wahr

Schritt 4.9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$\frac{π}{2} + 2 π n \leq x \leq \frac{5 π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, x = \frac{7 π}{2} + 2 π n, x = \frac{π}{2} + 2 π n, x = \frac{5 π}{2} + 2 π n}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}}$

Schritt 7

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: ${x | x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, x = \frac{7 π}{2} + 2 π n, x = \frac{π}{2} + 2 π n, x = \frac{5 π}{2} + 2 π n}$ , für jede Ganzzahl $n$

Wertebereich: $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}], {y | - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}}$

Schritt 8