Algebra Beispiele

$4^{y} < 5^{2 y + 1}$

Schritt 1

Logarithmiere beide Seiten der Ungleichung.

$\ln (4^{y}) < \ln (5^{2 y + 1})$

Schritt 2

Zerlege $\ln (4^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$y \ln (4) < \ln (5^{2 y + 1})$

Schritt 3

Zerlege $\ln (5^{2 y + 1})$ durch Herausziehen von $2 y + 1$ aus dem Logarithmus.

$y \ln (4) < (2 y + 1) \ln (5)$

Schritt 4

Löse die Ungleichung für $y$ .

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Schritt 4.1

Vereinfache $(2 y + 1) \ln (5)$ .

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y \ln (4) < 2 y \ln (5) + 1 \ln (5)$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $\ln (5)$ mit $1$ .

$y \ln (4) < 2 y \ln (5) + \ln (5)$

Schritt 4.2

Subtrahiere $2 y \ln (5)$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$y \ln (4) - 2 y \ln (5) < \ln (5)$

Schritt 4.3

Faktorisiere $y$ aus $y \ln (4) - 2 y \ln (5)$ heraus.

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y \ln (4)$ heraus.

$y (\ln (4)) - 2 y \ln (5) < \ln (5)$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- 2 y \ln (5)$ heraus.

$y (\ln (4)) + y (- 2 \ln (5)) < \ln (5)$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y (\ln (4)) + y (- 2 \ln (5))$ heraus.

$y (\ln (4) - 2 \ln (5)) < \ln (5)$

Schritt 4.4

Teile jeden Ausdruck in $y (\ln (4) - 2 \ln (5)) < \ln (5)$ durch $\ln (4) - 2 \ln (5)$ und vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (\ln (4) - 2 \ln (5)) < \ln (5)$ durch $\ln (4) - 2 \ln (5)$ .

$\frac{y (\ln (4) - 2 \ln (5))}{\ln (4) - 2 \ln (5)} < \frac{\ln (5)}{\ln (4) - 2 \ln (5)}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (4) - 2 \ln (5)$ .

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Schritt 4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (\ln (4) - 2 \ln (5))}{\ln (4) - 2 \ln (5)} < \frac{\ln (5)}{\ln (4) - 2 \ln (5)}$

Schritt 4.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y < \frac{\ln (5)}{\ln (4) - 2 \ln (5)}$

Schritt 5

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$y > \frac{\ln (5)}{\ln (4) - 2 \ln (5)}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$y > \frac{\ln (5)}{\ln (4) - 2 \ln (5)}$

Intervallschreibweise:

$(\frac{\ln (5)}{\ln (4) - 2 \ln (5)}, \infty)$

Schritt 7