Algebra Beispiele

$x^{2} + y^{2} = 1$ $y = 2 x + 2$

Schritt 1

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $2 x + 2$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.1

Ersetze alle $y$ in $x^{2} + y^{2} = 1$ durch $2 x + 2$ .

$x^{2} + {(2 x + 2)}^{2} = 1$

$y = 2 x + 2$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache $x^{2} + {(2 x + 2)}^{2}$ .

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Schritt 1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.1

Schreibe ${(2 x + 2)}^{2}$ als $(2 x + 2) (2 x + 2)$ um.

$x^{2} + (2 x + 2) (2 x + 2) = 1$

$y = 2 x + 2$

Schritt 1.2.1.1.2

Multipliziere $(2 x + 2) (2 x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 2 x (2 x + 2) + 2 (2 x + 2) = 1$

$y = 2 x + 2$

Schritt 1.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2 + 2 (2 x + 2) = 1$

$y = 2 x + 2$

Schritt 1.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot 2 = 1$

$y = 2 x + 2$

$x^{2} + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot 2 = 1$

$y = 2 x + 2$

Schritt 1.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} + 2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot 2 = 1$

$y = 2 x + 2$

Schritt 1.2.1.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$x^{2} + 2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot 2 = 1$

$y = 2 x + 2$

Schritt 1.2.1.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + 2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot 2 = 1$

$y = 2 x + 2$

$x^{2} + 2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot 2 = 1$

$y = 2 x + 2$

Schritt 1.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} + 4 x^{2} + 2 x \cdot 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot 2 = 1$

$y = 2 x + 2$

Schritt 1.2.1.1.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} + 4 x^{2} + 4 x + 2 (2 x) + 2 \cdot 2 = 1$

$y = 2 x + 2$

Schritt 1.2.1.1.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} + 4 x^{2} + 4 x + 4 x + 2 \cdot 2 = 1$

$y = 2 x + 2$

Schritt 1.2.1.1.3.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} + 4 x^{2} + 4 x + 4 x + 4 = 1$

$y = 2 x + 2$

$x^{2} + 4 x^{2} + 4 x + 4 x + 4 = 1$

$y = 2 x + 2$

Schritt 1.2.1.1.3.2

Addiere $4 x$ und $4 x$ .

$x^{2} + 4 x^{2} + 8 x + 4 = 1$

$y = 2 x + 2$

$x^{2} + 4 x^{2} + 8 x + 4 = 1$

$y = 2 x + 2$

$x^{2} + 4 x^{2} + 8 x + 4 = 1$

$y = 2 x + 2$

Schritt 1.2.1.2

Addiere $x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$5 x^{2} + 8 x + 4 = 1$

$y = 2 x + 2$

$5 x^{2} + 8 x + 4 = 1$

$y = 2 x + 2$

$5 x^{2} + 8 x + 4 = 1$

$y = 2 x + 2$

$5 x^{2} + 8 x + 4 = 1$

$y = 2 x + 2$

Schritt 2

Löse in $5 x^{2} + 8 x + 4 = 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{2} + 8 x + 4 - 1 = 0$

$y = 2 x + 2$

Schritt 2.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$5 x^{2} + 8 x + 3 = 0$

$y = 2 x + 2$

Schritt 2.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 5 \cdot 3 = 15$ und deren Summe gleich $b = 8$ ist.

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x$ heraus.

$5 x^{2} + 8 (x) + 3 = 0$

$y = 2 x + 2$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe $8$ um als $3$ plus $5$

$5 x^{2} + (3 + 5) x + 3 = 0$

$y = 2 x + 2$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{2} + 3 x + 5 x + 3 = 0$

$y = 2 x + 2$

$5 x^{2} + 3 x + 5 x + 3 = 0$

$y = 2 x + 2$

Schritt 2.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(5 x^{2} + 3 x) + 5 x + 3 = 0$

$y = 2 x + 2$

Schritt 2.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (5 x + 3) + 1 (5 x + 3) = 0$

$y = 2 x + 2$

$x (5 x + 3) + 1 (5 x + 3) = 0$

$y = 2 x + 2$

Schritt 2.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 x + 3$ .

$(5 x + 3) (x + 1) = 0$

$y = 2 x + 2$

$(5 x + 3) (x + 1) = 0$

$y = 2 x + 2$

Schritt 2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$5 x + 3 = 0$

$x + 1 = 0$

$y = 2 x + 2$

Schritt 2.5

Setze $5 x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $5 x + 3$ gleich $0$ .

$5 x + 3 = 0$

$y = 2 x + 2$

Schritt 2.5.2

Löse $5 x + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = - 3$

$y = 2 x + 2$

Schritt 2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - 3$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - 3$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 3}{5}$

$y = 2 x + 2$

Schritt 2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 3}{5}$

$y = 2 x + 2$

Schritt 2.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{5}$

$y = 2 x + 2$

$x = \frac{- 3}{5}$

$y = 2 x + 2$

$x = \frac{- 3}{5}$

$y = 2 x + 2$

Schritt 2.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3}{5}$

$y = 2 x + 2$

$x = - \frac{3}{5}$

$y = 2 x + 2$

$x = - \frac{3}{5}$

$y = 2 x + 2$

$x = - \frac{3}{5}$

$y = 2 x + 2$

$x = - \frac{3}{5}$

$y = 2 x + 2$

Schritt 2.6

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$y = 2 x + 2$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

$y = 2 x + 2$

$x = - 1$

$y = 2 x + 2$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(5 x + 3) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{3}{5}, - 1$

$y = 2 x + 2$

$x = - \frac{3}{5}, - 1$

$y = 2 x + 2$

Schritt 3

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- \frac{3}{5}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.1

Ersetze alle $x$ in $y = 2 x + 2$ durch $- \frac{3}{5}$ .

$y = 2 (- \frac{3}{5}) + 2$

$x = - \frac{3}{5}$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $2 (- \frac{3}{5}) + 2$ .

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1.1

Multipliziere $2 (- \frac{3}{5})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = - 2 (\frac{3}{5}) + 2$

$x = - \frac{3}{5}$

Schritt 3.2.1.1.1.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3}{5}$ .

$y = \frac{- 2 \cdot 3}{5} + 2$

$x = - \frac{3}{5}$

Schritt 3.2.1.1.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$y = \frac{- 6}{5} + 2$

$x = - \frac{3}{5}$

$y = \frac{- 6}{5} + 2$

$x = - \frac{3}{5}$

Schritt 3.2.1.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{6}{5} + 2$

$x = - \frac{3}{5}$

$y = - \frac{6}{5} + 2$

$x = - \frac{3}{5}$

Schritt 3.2.1.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$y = - \frac{6}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5}$

$x = - \frac{3}{5}$

Schritt 3.2.1.3

Kombiniere $2$ und $\frac{5}{5}$ .

$y = - \frac{6}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5}$

$x = - \frac{3}{5}$

Schritt 3.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- 6 + 2 \cdot 5}{5}$

$x = - \frac{3}{5}$

Schritt 3.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$y = \frac{- 6 + 10}{5}$

$x = - \frac{3}{5}$

Schritt 3.2.1.5.2

Addiere $- 6$ und $10$ .

$y = \frac{4}{5}$

$x = - \frac{3}{5}$

$y = \frac{4}{5}$

$x = - \frac{3}{5}$

$y = \frac{4}{5}$

$x = - \frac{3}{5}$

$y = \frac{4}{5}$

$x = - \frac{3}{5}$

$y = \frac{4}{5}$

$x = - \frac{3}{5}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- 1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $x$ in $y = 2 x + 2$ durch $- 1$ .

$y = 2 (- 1) + 2$

$x = - 1$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $2 (- 1) + 2$ .

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = - 2 + 2$

$x = - 1$

Schritt 4.2.1.2

Addiere $- 2$ und $2$ .

$y = 0$

$x = - 1$

$y = 0$

$x = - 1$

$y = 0$

$x = - 1$

$y = 0$

$x = - 1$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$

$(- 1, 0)$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(- \frac{3}{5}, \frac{4}{5}), (- 1, 0)$

Gleichungsform:

$x = - \frac{3}{5}, y = \frac{4}{5}$

$x = - 1, y = 0$

Schritt 7