Algebra Beispiele

$\frac{x}{x^{2} - 4} + \frac{1}{x}$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{x}{x^{2} - 2^{2}} + \frac{1}{x}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{1}{x}$

Schritt 2

Um $\frac{x}{(x + 2) (x - 2)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x}$

Schritt 3

Um $\frac{1}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{x}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 2) (x - 2) x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{x}{(x + 2) (x - 2)}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x \cdot x}{(x + 2) (x - 2) x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{x \cdot x}{(x + 2) (x - 2) x} + \frac{(x + 2) (x - 2)}{x ((x + 2) (x - 2))}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(x + 2) (x - 2) x$ um.

$\frac{x \cdot x}{x (x + 2) (x - 2)} + \frac{(x + 2) (x - 2)}{x ((x + 2) (x - 2))}$

Schritt 4.4

Stelle die Faktoren von $x ((x + 2) (x - 2))$ um.

$\frac{x \cdot x}{x (x + 2) (x - 2)} + \frac{(x + 2) (x - 2)}{x (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x \cdot x + (x + 2) (x - 2)}{x (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + (x + 2) (x - 2)}{x (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 6.2

Multipliziere $(x + 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + x (x - 2) + 2 (x - 2)}{x (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 6.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)}{x (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 6.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2}{x (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 6.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Schritt 6.3.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 2$ und $2 x$ neu an.

$\frac{x^{2} + x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}{x (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 6.3.2

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2}{x (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 6.3.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot x + 2 \cdot - 2}{x (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 6.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + x^{2} + 2 \cdot - 2}{x (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 6.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{x^{2} + x^{2} - 4}{x (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 6.5

Addiere $x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 4}{x (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 6.6

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} - 4$ heraus.

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Schritt 6.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (x^{2}) - 4}{x (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 6.6.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 2}{x (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 6.6.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2 \cdot - 2$ heraus.

$\frac{2 (x^{2} - 2)}{x (x + 2) (x - 2)}$