Algebra Beispiele

$x^{2} + y^{2} = 25$ $x^{2} = 5 - y$

Schritt 1

Löse in $x^{2} = 5 - y$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{5 - y}$

$x^{2} + y^{2} = 25$

Schritt 1.2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{5 - y}$

$x^{2} + y^{2} = 25$

Schritt 1.2.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{5 - y}$

$x^{2} + y^{2} = 25$

Schritt 1.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{5 - y}$

$x = - \sqrt{5 - y}$

$x^{2} + y^{2} = 25$

$x = \sqrt{5 - y}$

$x = - \sqrt{5 - y}$

$x^{2} + y^{2} = 25$

$x = \sqrt{5 - y}$

$x = - \sqrt{5 - y}$

$x^{2} + y^{2} = 25$

Schritt 2

Löse das System $x = \sqrt{5 - y}, x^{2} + y^{2} = 25$ .

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Schritt 2.1

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $\sqrt{5 - y}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Ersetze alle $x$ in $x^{2} + y^{2} = 25$ durch $\sqrt{5 - y}$ .

${(\sqrt{5 - y})}^{2} + y^{2} = 25$

$x = \sqrt{5 - y}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.2.1

Schreibe ${\sqrt{5 - y}}^{2}$ als $5 - y$ um.

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Schritt 2.1.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5 - y}$ als ${(5 - y)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(5 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + y^{2} = 25$

$x = \sqrt{5 - y}$

Schritt 2.1.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + y^{2} = 25$

$x = \sqrt{5 - y}$

Schritt 2.1.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

${(5 - y)}^{\frac{2}{2}} + y^{2} = 25$

$x = \sqrt{5 - y}$

Schritt 2.1.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(5 - y)}^{\frac{2}{2}} + y^{2} = 25$

$x = \sqrt{5 - y}$

Schritt 2.1.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$(5 - y) + y^{2} = 25$

$x = \sqrt{5 - y}$

$(5 - y) + y^{2} = 25$

$x = \sqrt{5 - y}$

Schritt 2.1.2.1.5

Vereinfache.

$5 - y + y^{2} = 25$

$x = \sqrt{5 - y}$

$5 - y + y^{2} = 25$

$x = \sqrt{5 - y}$

$5 - y + y^{2} = 25$

$x = \sqrt{5 - y}$

$5 - y + y^{2} = 25$

$x = \sqrt{5 - y}$

Schritt 2.2

Löse in $5 - y + y^{2} = 25$ nach $y$ auf.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $25$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 - y + y^{2} - 25 = 0$

$x = \sqrt{5 - y}$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $25$ von $5$ .

$- y + y^{2} - 20 = 0$

$x = \sqrt{5 - y}$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.3.1

Es sei $u = y$ . Ersetze $u$ für alle $y$ .

$- u + u^{2} - 20 = 0$

$x = \sqrt{5 - y}$

Schritt 2.2.3.2

Faktorisiere $- u + u^{2} - 20$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.3.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 20$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 5, 4$

$x = \sqrt{5 - y}$

Schritt 2.2.3.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 5) (u + 4) = 0$

$x = \sqrt{5 - y}$

$(u - 5) (u + 4) = 0$

$x = \sqrt{5 - y}$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$(y - 5) (y + 4) = 0$

$x = \sqrt{5 - y}$

$(y - 5) (y + 4) = 0$

$x = \sqrt{5 - y}$

Schritt 2.2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y - 5 = 0$

$y + 4 = 0$

$x = \sqrt{5 - y}$

Schritt 2.2.5

Setze $y - 5$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.2.5.1

Setze $y - 5$ gleich $0$ .

$y - 5 = 0$

$x = \sqrt{5 - y}$

Schritt 2.2.5.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 5$

$x = \sqrt{5 - y}$

$y = 5$

$x = \sqrt{5 - y}$

Schritt 2.2.6

Setze $y + 4$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.2.6.1

Setze $y + 4$ gleich $0$ .

$y + 4 = 0$

$x = \sqrt{5 - y}$

Schritt 2.2.6.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 4$

$x = \sqrt{5 - y}$

$y = - 4$

$x = \sqrt{5 - y}$

Schritt 2.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(y - 5) (y + 4) = 0$ wahr machen.

$y = 5, - 4$

$x = \sqrt{5 - y}$

$y = 5, - 4$

$x = \sqrt{5 - y}$

Schritt 2.3

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $5$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Ersetze alle $y$ in $x = \sqrt{5 - y}$ durch $5$ .

$x = \sqrt{5 - (5)}$

$y = 5$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache $\sqrt{5 - (5)}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$x = \sqrt{5 - 5}$

$y = 5$

Schritt 2.3.2.1.2

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$x = \sqrt{0}$

$y = 5$

Schritt 2.3.2.1.3

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \sqrt{0^{2}}$

$y = 5$

Schritt 2.3.2.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = 0$

$y = 5$

$x = 0$

$y = 5$

$x = 0$

$y = 5$

$x = 0$

$y = 5$

Schritt 2.4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- 4$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Ersetze alle $y$ in $x = \sqrt{5 - y}$ durch $- 4$ .

$x = \sqrt{5 - (- 4)}$

$y = - 4$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache $\sqrt{5 - (- 4)}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$x = \sqrt{5 + 4}$

$y = - 4$

Schritt 2.4.2.1.2

Addiere $5$ und $4$ .

$x = \sqrt{9}$

$y = - 4$

Schritt 2.4.2.1.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \sqrt{3^{2}}$

$y = - 4$

Schritt 2.4.2.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = 3$

$y = - 4$

$x = 3$

$y = - 4$

$x = 3$

$y = - 4$

$x = 3$

$y = - 4$

$x = 3$

$y = - 4$

Schritt 3

Löse das System $x = - \sqrt{5 - y}, x^{2} + y^{2} = 25$ .

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Schritt 3.1

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- \sqrt{5 - y}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Ersetze alle $x$ in $x^{2} + y^{2} = 25$ durch $- \sqrt{5 - y}$ .

${(- \sqrt{5 - y})}^{2} + y^{2} = 25$

$x = - \sqrt{5 - y}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{5 - y}$ an.

${(- 1)}^{2} {\sqrt{5 - y}}^{2} + y^{2} = 25$

$x = - \sqrt{5 - y}$

Schritt 3.1.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 {\sqrt{5 - y}}^{2} + y^{2} = 25$

$x = - \sqrt{5 - y}$

Schritt 3.1.2.1.3

Mutltipliziere ${\sqrt{5 - y}}^{2}$ mit $1$ .

${\sqrt{5 - y}}^{2} + y^{2} = 25$

$x = - \sqrt{5 - y}$

Schritt 3.1.2.1.4

Schreibe ${\sqrt{5 - y}}^{2}$ als $5 - y$ um.

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Schritt 3.1.2.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5 - y}$ als ${(5 - y)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(5 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + y^{2} = 25$

$x = - \sqrt{5 - y}$

Schritt 3.1.2.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + y^{2} = 25$

$x = - \sqrt{5 - y}$

Schritt 3.1.2.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

${(5 - y)}^{\frac{2}{2}} + y^{2} = 25$

$x = - \sqrt{5 - y}$

Schritt 3.1.2.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(5 - y)}^{\frac{2}{2}} + y^{2} = 25$

$x = - \sqrt{5 - y}$

Schritt 3.1.2.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$(5 - y) + y^{2} = 25$

$x = - \sqrt{5 - y}$

$(5 - y) + y^{2} = 25$

$x = - \sqrt{5 - y}$

Schritt 3.1.2.1.4.5

Vereinfache.

$5 - y + y^{2} = 25$

$x = - \sqrt{5 - y}$

$5 - y + y^{2} = 25$

$x = - \sqrt{5 - y}$

$5 - y + y^{2} = 25$

$x = - \sqrt{5 - y}$

$5 - y + y^{2} = 25$

$x = - \sqrt{5 - y}$

$5 - y + y^{2} = 25$

$x = - \sqrt{5 - y}$

Schritt 3.2

Löse in $5 - y + y^{2} = 25$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $25$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 - y + y^{2} - 25 = 0$

$x = - \sqrt{5 - y}$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $25$ von $5$ .

$- y + y^{2} - 20 = 0$

$x = - \sqrt{5 - y}$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.3.1

Es sei $u = y$ . Ersetze $u$ für alle $y$ .

$- u + u^{2} - 20 = 0$

$x = - \sqrt{5 - y}$

Schritt 3.2.3.2

Faktorisiere $- u + u^{2} - 20$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 20$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 5, 4$

$x = - \sqrt{5 - y}$

Schritt 3.2.3.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 5) (u + 4) = 0$

$x = - \sqrt{5 - y}$

$(u - 5) (u + 4) = 0$

$x = - \sqrt{5 - y}$

Schritt 3.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$(y - 5) (y + 4) = 0$

$x = - \sqrt{5 - y}$

$(y - 5) (y + 4) = 0$

$x = - \sqrt{5 - y}$

Schritt 3.2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y - 5 = 0$

$y + 4 = 0$

$x = - \sqrt{5 - y}$

Schritt 3.2.5

Setze $y - 5$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.2.5.1

Setze $y - 5$ gleich $0$ .

$y - 5 = 0$

$x = - \sqrt{5 - y}$

Schritt 3.2.5.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 5$

$x = - \sqrt{5 - y}$

$y = 5$

$x = - \sqrt{5 - y}$

Schritt 3.2.6

Setze $y + 4$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.2.6.1

Setze $y + 4$ gleich $0$ .

$y + 4 = 0$

$x = - \sqrt{5 - y}$

Schritt 3.2.6.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 4$

$x = - \sqrt{5 - y}$

$y = - 4$

$x = - \sqrt{5 - y}$

Schritt 3.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(y - 5) (y + 4) = 0$ wahr machen.

$y = 5, - 4$

$x = - \sqrt{5 - y}$

$y = 5, - 4$

$x = - \sqrt{5 - y}$

Schritt 3.3

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $5$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Ersetze alle $y$ in $x = - \sqrt{5 - y}$ durch $5$ .

$x = - \sqrt{5 - (5)}$

$y = 5$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Vereinfache $- \sqrt{5 - (5)}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$x = - \sqrt{5 - 5}$

$y = 5$

Schritt 3.3.2.1.2

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$x = - \sqrt{0}$

$y = 5$

Schritt 3.3.2.1.3

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = - \sqrt{0^{2}}$

$y = 5$

Schritt 3.3.2.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = - 0$

$y = 5$

Schritt 3.3.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$x = 0$

$y = 5$

$x = 0$

$y = 5$

$x = 0$

$y = 5$

$x = 0$

$y = 5$

Schritt 3.4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- 4$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Ersetze alle $y$ in $x = - \sqrt{5 - y}$ durch $- 4$ .

$x = - \sqrt{5 - (- 4)}$

$y = - 4$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1

Vereinfache $- \sqrt{5 - (- 4)}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$x = - \sqrt{5 + 4}$

$y = - 4$

Schritt 3.4.2.1.2

Addiere $5$ und $4$ .

$x = - \sqrt{9}$

$y = - 4$

Schritt 3.4.2.1.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = - \sqrt{3^{2}}$

$y = - 4$

Schritt 3.4.2.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = - 1 \cdot 3$

$y = - 4$

Schritt 3.4.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x = - 3$

$y = - 4$

$x = - 3$

$y = - 4$

$x = - 3$

$y = - 4$

$x = - 3$

$y = - 4$

$x = - 3$

$y = - 4$

Schritt 4

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(0, 5)$

$(3, - 4)$

$(- 3, - 4)$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(0, 5), (3, - 4), (- 3, - 4)$

Gleichungsform:

$x = 0, y = 5$

$x = 3, y = - 4$

$x = - 3, y = - 4$

Schritt 6