Algebra Beispiele

$\frac{- 4}{9 - x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 9}{24 x - 4 x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 36}{x^{2} + 9 x + 18}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$\frac{- 4}{9 - x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 9}{24 x - 4 x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 6^{2}}{x^{2} + 9 x + 18}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 6$ .

$\frac{- 4}{9 - x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 9}{24 x - 4 x^{2}} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{x^{2} + 9 x + 18}$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2} + 9 x + 18$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $18$ und deren Summe $9$ ist.

$3, 6$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{- 4}{9 - x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 9}{24 x - 4 x^{2}} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{- 4}{3^{2} - x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 9}{24 x - 4 x^{2}} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3$ und $b = x$ .

$\frac{- 4}{(3 + x) (3 - x)} \cdot \frac{x^{2} - 9}{24 x - 4 x^{2}} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{- 4}{(3 + x) (3 - x)} \cdot \frac{x^{2} - 3^{2}}{24 x - 4 x^{2}} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

Schritt 4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{- 4}{(3 + x) (3 - x)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{24 x - 4 x^{2}} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $4 x$ aus $24 x - 4 x^{2}$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $4 x$ aus $24 x$ heraus.

$\frac{- 4}{(3 + x) (3 - x)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{4 x (6) - 4 x^{2}} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $4 x$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$\frac{- 4}{(3 + x) (3 - x)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{4 x (6) + 4 x (- x)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (6) + 4 x (- x)$ heraus.

$\frac{- 4}{(3 + x) (3 - x)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{4 x (6 - x)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{4 (- 1)}{(3 + x) (3 - x)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{4 x (6 - x)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $4$ aus $4 x (6 - x)$ heraus.

$\frac{4 (- 1)}{(3 + x) (3 - x)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{4 (x (6 - x))} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot - 1}{(3 + x) (3 - x)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{4 (x (6 - x))} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

Schritt 5.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{(3 + x) (3 - x)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{x (6 - x)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $\frac{- 1}{(3 + x) (3 - x)}$ mit $\frac{(x + 3) (x - 3)}{x (6 - x)}$ .

$\frac{- ((x + 3) (x - 3))}{(3 + x) (3 - x) (x (6 - x))} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 3$ .

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $x + 3$ aus $- (x + 3) (x - 3)$ heraus.

$\frac{(x + 3) (- 1 (x - 3))}{(3 + x) (3 - x) x (6 - x)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

Schritt 5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 3) (- 1 (x - 3))}{(3 + x) (3 - x) x (6 - x)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

Schritt 5.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 (x - 3)}{(3 + x) (3 - x) x (6 - x)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{x + 6}$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $\frac{- 1 (x - 3)}{(3 + x) (3 - x) x (6 - x)}$ mit $\frac{(x + 6) (x - 6)}{x + 6}$ .

$\frac{- 1 (x - 3) ((x + 6) (x - 6))}{(3 + x) (3 - x) x (6 - x) (x + 6)}$

Schritt 5.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 6$ .

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Schritt 5.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (x - 3) ((x + 6) (x - 6))}{(3 + x) (3 - x) x (6 - x) (x + 6)}$

Schritt 5.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 (x - 3) (x - 6)}{(3 + x) (3 - x) x (6 - x)}$

Schritt 5.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x - 3$ und $3 - x$ .

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Schritt 5.7.1

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$\frac{- 1 (- 1 (- x) - 3) (x - 6)}{(3 + x) (3 - x) x (6 - x)}$

Schritt 5.7.2

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$\frac{- 1 (- 1 (- x) - 1 (3)) (x - 6)}{(3 + x) (3 - x) x (6 - x)}$

Schritt 5.7.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- x) - 1 (3)$ heraus.

$\frac{- 1 (- 1 (- x + 3)) (x - 6)}{(3 + x) (3 - x) x (6 - x)}$

Schritt 5.7.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- 1 (- 1 (- x + 3)) (x - 6)}{(3 + x) (- x + 3) x (6 - x)}$

Schritt 5.7.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (- 1 (- x + 3)) (x - 6)}{(3 + x) (- x + 3) x (6 - x)}$

Schritt 5.7.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 \cdot (- 1) (x - 6)}{(3 + x) x (6 - x)}$

Schritt 5.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x - 6$ und $6 - x$ .

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Schritt 5.8.1

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$\frac{- 1 \cdot (- 1) (- 1 (- x) - 6)}{(3 + x) x (6 - x)}$

Schritt 5.8.2

Schreibe $- 6$ als $- 1 (6)$ um.

$\frac{- 1 \cdot (- 1) (- 1 (- x) - 1 (6))}{(3 + x) x (6 - x)}$

Schritt 5.8.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- x) - 1 (6)$ heraus.

$\frac{- 1 \cdot (- 1) (- 1 (- x + 6))}{(3 + x) x (6 - x)}$

Schritt 5.8.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- 1 \cdot (- 1) (- 1 (- x + 6))}{(3 + x) x (- x + 6)}$

Schritt 5.8.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 \cdot (- 1) (- 1 (- x + 6))}{(3 + x) x (- x + 6)}$

Schritt 5.8.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 \cdot (- 1) \cdot (- 1)}{(3 + x) x}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1 \cdot - 1}{(3 + x) x}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 1}{(3 + x) x}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{(3 + x) x}$

Schritt 7.2

Stelle die Faktoren in $- \frac{1}{(3 + x) x}$ um.

$- \frac{1}{x (3 + x)}$