Algebra Beispiele

$\sin (3 x) = 1$ , $0 \leq x < 2 π$

Schritt 1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$3 x = \arcsin (1)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $\arcsin (1)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$3 x = \frac{π}{2}$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{π}{2}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{π}{2}$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 3.3.2

Multipliziere $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{π}{6}$

Schritt 4

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$3 x = π - \frac{π}{2}$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$3 x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 5.1.2

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 5.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 5.1.4

Subtrahiere $π$ von $π \cdot 2$ .

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Schritt 5.1.4.1

Stelle $π$ und $2$ um.

$3 x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Schritt 5.1.4.2

Subtrahiere $π$ von $2 \cdot π$ .

$3 x = \frac{π}{2}$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{π}{2}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{π}{2}$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.3.2

Multipliziere $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 5.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{π}{6}$

Schritt 6

Ermittele die Periode von $\sin (3 x)$ .

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Schritt 6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.2

Ersetze $b$ durch $3$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Schritt 6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Schritt 7

Die Periode der Funktion $\sin (3 x)$ ist $\frac{2 π}{3}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{2 π}{3}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 8

Bestimme die Werte von $n$ , die einen Wert innerhalb des Intervalls $[0, 2 π)$ ergeben.

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Schritt 8.1

Setze $0$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $[0, 2 π)$ enthalten ist.

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Schritt 8.1.1

Setze $0$ für $n$ ein.

$\frac{π}{6} + \frac{2 π (0)}{3}$

Schritt 8.1.2

Vereinfache.

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Schritt 8.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 8.1.2.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $2 π (0)$ heraus.

$\frac{π}{6} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3}$

Schritt 8.1.2.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.1.2.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{π}{6} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 (1)}$

Schritt 8.1.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π}{6} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

Schritt 8.1.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot (0)}{1}$

Schritt 8.1.2.1.1.2.4

Dividiere $2 π \cdot (0)$ durch $1$ .

$\frac{π}{6} + 2 π \cdot (0)$

Schritt 8.1.2.1.2

Multipliziere $2 π (0)$ .

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Schritt 8.1.2.1.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$\frac{π}{6} + 0 π$

Schritt 8.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $π$ .

$\frac{π}{6} + 0$

Schritt 8.1.2.2

Addiere $\frac{π}{6}$ und $0$ .

$\frac{π}{6}$

Schritt 8.1.3

Das Intervall $[0, 2 π)$ enthält $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Schritt 8.2

Setze $1$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $[0, 2 π)$ enthalten ist.

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Schritt 8.2.1

Setze $1$ für $n$ ein.

$\frac{π}{6} + \frac{2 π (1)}{3}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}$

Schritt 8.2.2.2

Um $\frac{2 π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 8.2.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.2.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{2 π}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Schritt 8.2.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{6}$

Schritt 8.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π + 2 π \cdot 2}{6}$

Schritt 8.2.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{π + 4 π}{6}$

Schritt 8.2.2.5.2

Addiere $π$ und $4 π$ .

$\frac{5 π}{6}$

Schritt 8.2.3

Das Intervall $[0, 2 π)$ enthält $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Schritt 8.3

Setze $2$ für $n$ ein und vereinfache, um zu sehen, ob die Lösung in $[0, 2 π)$ enthalten ist.

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Schritt 8.3.1

Setze $2$ für $n$ ein.

$\frac{π}{6} + \frac{2 π (2)}{3}$

Schritt 8.3.2

Vereinfache.

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Schritt 8.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{π}{6} + \frac{4 π}{3}$

Schritt 8.3.2.2

Um $\frac{4 π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{4 π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 8.3.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.3.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{4 π}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{4 π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Schritt 8.3.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{π}{6} + \frac{4 π \cdot 2}{6}$

Schritt 8.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π + 4 π \cdot 2}{6}$

Schritt 8.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{π + 8 π}{6}$

Schritt 8.3.2.5.2

Addiere $π$ und $8 π$ .

$\frac{9 π}{6}$

Schritt 8.3.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $6$ .

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Schritt 8.3.2.6.1

Faktorisiere $3$ aus $9 π$ heraus.

$\frac{3 (3 π)}{6}$

Schritt 8.3.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.2.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 (3 π)}{3 (2)}$

Schritt 8.3.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2}$

Schritt 8.3.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 π}{2}$

Schritt 8.3.3

Das Intervall $[0, 2 π)$ enthält $\frac{3 π}{2}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2}$