Algebra Beispiele

$f (x) = \sqrt[3]{5^{x}} + 9$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \sqrt[3]{5^{x}} + 9$ als Gleichung.

$y = \sqrt[3]{5^{x}} + 9$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt[3]{5^{y}} + 9$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt[3]{5^{y}} + 9 = x$ um.

$\sqrt[3]{5^{y}} + 9 = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt[3]{5^{y}} = x - 9$

Schritt 3.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{5^{y}}}^{3} = {(x - 9)}^{3}$

Schritt 3.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{5^{y}}$ als $5^{\frac{y}{3}}$ neu zu schreiben.

${(5^{\frac{y}{3}})}^{3} = {(x - 9)}^{3}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(5^{\frac{y}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5^{\frac{y}{3} \cdot 3} = {(x - 9)}^{3}$

Schritt 3.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5^{\frac{y}{3} \cdot 3} = {(x - 9)}^{3}$

Schritt 3.4.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$5^{y} = {(x - 9)}^{3}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Vereinfache ${(x - 9)}^{3}$ .

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Schritt 3.4.3.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$5^{y} = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 9 + 3 x {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3}$

Schritt 3.4.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $3$ .

$5^{y} = x^{3} - 27 x^{2} + 3 x {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3}$

Schritt 3.4.3.1.2.2

Potenziere $- 9$ mit $2$ .

$5^{y} = x^{3} - 27 x^{2} + 3 x \cdot 81 + {(- 9)}^{3}$

Schritt 3.4.3.1.2.3

Mutltipliziere $81$ mit $3$ .

$5^{y} = x^{3} - 27 x^{2} + 243 x + {(- 9)}^{3}$

Schritt 3.4.3.1.2.4

Potenziere $- 9$ mit $3$ .

$5^{y} = x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (5^{y}) = \ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)$

Schritt 3.5.2

Zerlege $\ln (5^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$y \ln (5) = \ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)$

Schritt 3.5.3

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (5) = \ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)$ durch $\ln (5)$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (5) = \ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)$ durch $\ln (5)$ .

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$

Schritt 3.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (5)$ .

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Schritt 3.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$

Schritt 3.5.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt[3]{5^{x}} + 9$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sqrt[3]{5^{x}} + 9)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{5^{x}} + 9) = \frac{\ln ({(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{3} - 27 {(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{2} + 243 (\sqrt[3]{5^{x}} + 9) - 729)}{\ln (5)}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{5^{x}} + 9) = \frac{\ln ({(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{3} - 27 {(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{2} + 243 \sqrt[3]{5^{x}} + 243 \cdot 9 - 729)}{\ln (5)}$

Schritt 5.2.3.1.2

Mutltipliziere $243$ mit $9$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{5^{x}} + 9) = \frac{\ln ({(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{3} - 27 {(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{2} + 243 \sqrt[3]{5^{x}} + 2187 - 729)}{\ln (5)}$

Schritt 5.2.3.2

Subtrahiere $729$ von $2187$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{5^{x}} + 9) = \frac{\ln ({(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{3} - 27 {(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{2} + 243 \sqrt[3]{5^{x}} + 1458)}{\ln (5)}$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = \sqrt[3]{5^{\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}}} + 9$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Nutze die Änderung der Basis-Regel $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = \sqrt[3]{5^{\log_{5} (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}} + 9$

Schritt 5.3.3.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = \sqrt[3]{x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729} + 9$

Schritt 5.3.3.3

Passe jeden Term so an, dass er den Termen des binomischen Lehrsatzes entspricht.

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = \sqrt[3]{x^{3} - 3 \cdot (9 x^{2}) + 3 \cdot (9^{2} x) - 1 \cdot 9^{3}} + 9$

Schritt 5.3.3.4

Faktorisiere $x^{3} - 3 \cdot 9 x^{2} + 3 \cdot 9^{2} x - 1 \cdot 9^{3}$ mithilfe des Binomischen Lehrsatzes.

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = \sqrt[3]{{(x - 9)}^{3}} + 9$

Schritt 5.3.3.5

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = x - 9 + 9$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 9 + 9$ .

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $- 9$ und $9$ .

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sqrt[3]{5^{x}} + 9$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$