Algebra Beispiele

$9 x^{4} - 2 x^{2} - 7 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$9 {(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 7 = 0$

Schritt 1.2

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$9 u^{2} - 2 u - 7 = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 9 \cdot - 7 = - 63$ und deren Summe gleich $b = - 2$ ist.

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Schritt 1.3.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 u$ heraus.

$9 u^{2} - 2 u - 7 = 0$

Schritt 1.3.1.2

Schreibe $- 2$ um als $7$ plus $- 9$

$9 u^{2} + (7 - 9) u - 7 = 0$

Schritt 1.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$9 u^{2} + 7 u - 9 u - 7 = 0$

Schritt 1.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(9 u^{2} + 7 u) - 9 u - 7 = 0$

Schritt 1.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (9 u + 7) - (9 u + 7) = 0$

Schritt 1.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $9 u + 7$ .

$(9 u + 7) (u - 1) = 0$

Schritt 1.4

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$(9 x^{2} + 7) (x^{2} - 1) = 0$

Schritt 1.5

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(9 x^{2} + 7) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Schritt 1.6

Faktorisiere.

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Schritt 1.6.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$(9 x^{2} + 7) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Schritt 1.6.2

Entferne unnötige Klammern.

$(9 x^{2} + 7) (x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$9 x^{2} + 7 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 3

Setze $9 x^{2} + 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $9 x^{2} + 7$ gleich $0$ .

$9 x^{2} + 7 = 0$

Schritt 3.2

Löse $9 x^{2} + 7 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 x^{2} = - 7$

Schritt 3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $9 x^{2} = - 7$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $9 x^{2} = - 7$ durch $9$ .

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{- 7}{9}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{- 7}{9}$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 7}{9}$

Schritt 3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} = - \frac{7}{9}$

Schritt 3.2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- \frac{7}{9}}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{7}{9}}$ .

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Schritt 3.2.4.1

Schreibe $- \frac{7}{9}$ als ${(\frac{i}{3})}^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 3.2.4.1.1

Schreibe $- 1$ als $i^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{7}{9}}$

Schritt 3.2.4.1.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $7$ heraus.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 7}{9}}$

Schritt 3.2.4.1.3

Faktorisiere die perfekte Potenz $3^{2}$ aus $9$ heraus.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 7}{3^{2} \cdot 1}}$

Schritt 3.2.4.1.4

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} \cdot 7}{3^{2} \cdot 1}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{3})}^{2} \cdot 7)}$

Schritt 3.2.4.1.5

Schreibe $i^{2} {(\frac{1}{3})}^{2}$ als ${(\frac{i}{3})}^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{3})}^{2} \cdot 7}$

Schritt 3.2.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm \frac{i}{3} \sqrt{7}$

Schritt 3.2.4.3

Kombiniere $\frac{i}{3}$ und $\sqrt{7}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{7}}{3}$

Schritt 3.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{i \sqrt{7}}{3}$

Schritt 3.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{i \sqrt{7}}{3}$

Schritt 3.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{i \sqrt{7}}{3}, - \frac{i \sqrt{7}}{3}$

Schritt 4

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 5

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(9 x^{2} + 7) (x + 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{i \sqrt{7}}{3}, - \frac{i \sqrt{7}}{3}, - 1, 1$