Algebra Beispiele

$2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})) \cdot 5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Schritt 1

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})) \cdot 5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Schritt 1.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot 5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Schritt 1.1.3

Kombiniere $i$ und $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot 5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Schritt 1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 (\frac{1}{2}) + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot 5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(2 (\frac{1}{2}) + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot 5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Schritt 1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$(1 + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot 5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Schritt 1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(1 + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot 5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Schritt 1.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$(1 + i \sqrt{3}) \cdot 5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Schritt 1.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$(1 \cdot 5 + i \sqrt{3} \cdot 5) (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Schritt 1.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.5.1

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$(5 + i \sqrt{3} \cdot 5) (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Schritt 1.2.5.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $i \sqrt{3}$ .

$(5 + 5 \cdot (i \sqrt{3})) (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Schritt 1.3

Entferne die Klammern.

$(5 + 5 i \sqrt{3}) (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Schritt 1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$(5 + 5 i \sqrt{3}) (- \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Schritt 1.4.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$(5 + 5 i \sqrt{3}) (- \frac{1}{2} + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Schritt 1.4.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$(5 + 5 i \sqrt{3}) (- \frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3}))$

Schritt 1.4.4

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(5 + 5 i \sqrt{3}) (- \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 1.4.5

Kombiniere $i$ und $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(5 + 5 i \sqrt{3}) (- \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2})$

Schritt 2

Multipliziere $(5 + 5 i \sqrt{3}) (- \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 (- \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}) + 5 i \sqrt{3} (- \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2})$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 (- \frac{1}{2}) + 5 \frac{i \sqrt{3}}{2} + 5 i \sqrt{3} (- \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2})$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 (- \frac{1}{2}) + 5 \frac{i \sqrt{3}}{2} + 5 i \sqrt{3} (- \frac{1}{2}) + 5 i \sqrt{3} \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Multipliziere $5 (- \frac{1}{2})$ .

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Schritt 3.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- 5 (\frac{1}{2}) + 5 \frac{i \sqrt{3}}{2} + 5 i \sqrt{3} (- \frac{1}{2}) + 5 i \sqrt{3} \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.1.1.2

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 5}{2} + 5 \frac{i \sqrt{3}}{2} + 5 i \sqrt{3} (- \frac{1}{2}) + 5 i \sqrt{3} \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5}{2} + 5 \frac{i \sqrt{3}}{2} + 5 i \sqrt{3} (- \frac{1}{2}) + 5 i \sqrt{3} \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.1.3

Kombiniere $5$ und $\frac{i \sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 (i \sqrt{3})}{2} + 5 i \sqrt{3} (- \frac{1}{2}) + 5 i \sqrt{3} \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.1.4

Multipliziere $5 i \sqrt{3} (- \frac{1}{2})$ .

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Schritt 3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - 5 i \sqrt{3} \frac{1}{2} + 5 i \sqrt{3} \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.1.4.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 5$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{- 5}{2} i \sqrt{3} + 5 i \sqrt{3} \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.1.4.3

Kombiniere $\frac{- 5}{2}$ und $i$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{- 5 i}{2} \sqrt{3} + 5 i \sqrt{3} \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.1.4.4

Kombiniere $\frac{- 5 i}{2}$ und $\sqrt{3}$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{- 5 i \sqrt{3}}{2} + 5 i \sqrt{3} \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + 5 i \sqrt{3} \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.1.6

Multipliziere $5 i \sqrt{3} \frac{i \sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 3.1.6.1

Kombiniere $\frac{i \sqrt{3}}{2}$ und $5$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{i \sqrt{3} \cdot 5}{2} i \sqrt{3}$

Schritt 3.1.6.2

Kombiniere $\frac{i \sqrt{3} \cdot 5}{2}$ und $i$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{i \sqrt{3} \cdot 5 i}{2} \sqrt{3}$

Schritt 3.1.6.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot 5 (i^{1} i)}{2} \sqrt{3}$

Schritt 3.1.6.4

Potenziere $i$ mit $1$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot 5 (i^{1} i^{1})}{2} \sqrt{3}$

Schritt 3.1.6.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot 5 i^{1 + 1}}{2} \sqrt{3}$

Schritt 3.1.6.6

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot 5 i^{2}}{2} \sqrt{3}$

Schritt 3.1.6.7

Kombiniere $\frac{\sqrt{3} \cdot 5 i^{2}}{2}$ und $\sqrt{3}$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot 5 i^{2} \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.1.6.8

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{5 i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{2}$

Schritt 3.1.6.9

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{5 i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{2}$

Schritt 3.1.6.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{5 i^{2} {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2}$

Schritt 3.1.6.11

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{5 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2}$

Schritt 3.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.7.1

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{5 \cdot - 1 {\sqrt{3}}^{2}}{2}$

Schritt 3.1.7.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.1.7.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{5 \cdot - 1 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Schritt 3.1.7.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{5 \cdot - 1 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Schritt 3.1.7.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{5 \cdot - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Schritt 3.1.7.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.7.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{5 \cdot - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Schritt 3.1.7.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{5 \cdot - 1 \cdot 3^{1}}{2}$

Schritt 3.1.7.2.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{5 \cdot - 1 \cdot 3}{2}$

Schritt 3.1.7.3

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.1.7.3.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{- (5 \cdot 3)}{2}$

Schritt 3.1.7.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{- 1 \cdot 15}{2}$

Schritt 3.1.7.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $15$ .

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{- 15}{2}$

Schritt 3.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{15}{2}$

Schritt 3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 5 - 15}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.3

Subtrahiere $15$ von $- 5$ .

$\frac{- 20}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 20}{2} + \frac{0}{2}$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 20 + 0}{2}$

Schritt 3.6

Addiere $- 20$ und $0$ .

$\frac{- 20}{2}$

Schritt 4

Dividiere $- 20$ durch $2$ .

$- 10$