Algebra Beispiele

$\log (3 x) + \log (x - 4) = \log (15)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (3 x (x - 4)) = \log (15)$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (3 x \cdot x + 3 x \cdot - 4) = \log (15)$

Schritt 1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1

Bewege $x$ .

$\log (3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 4) = \log (15)$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log (3 x^{2} + 3 x \cdot - 4) = \log (15)$

Schritt 1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$\log (3 x^{2} - 12 x) = \log (15)$

Schritt 2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$3 x^{2} - 12 x = 15$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $15$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} - 12 x - 15 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} - 12 x - 15$ heraus.

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$3 (x^{2}) - 12 x - 15 = 0$

Schritt 3.2.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 12 x$ heraus.

$3 (x^{2}) + 3 (- 4 x) - 15 = 0$

Schritt 3.2.1.3

Faktorisiere $3$ aus $- 15$ heraus.

$3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot - 5 = 0$

Schritt 3.2.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} + 3 (- 4 x)$ heraus.

$3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 5 = 0$

Schritt 3.2.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 5$ heraus.

$3 (x^{2} - 4 x - 5) = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 4 x - 5$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 5$ und deren Summe $- 4$ ist.

$- 5, 1$

Schritt 3.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$3 ((x - 5) (x + 1)) = 0$

Schritt 3.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 (x - 5) (x + 1) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 3.4

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 3.5

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3 (x - 5) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 5, - 1$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\log (3 x) + \log (x - 4) = \log (15)$ nicht erfüllen.

$x = 5$