Algebra Beispiele

$x^{2} + 4 y^{2} + 16 x - 80 y + 320 = 0$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$x^{2} + 4 {(0)}^{2} + 16 x - 80 \cdot 0 + 320 = 0$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Vereinfache $x^{2} + 4 {(0)}^{2} + 16 x - 80 \cdot 0 + 320$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x^{2} + 4 \cdot 0 + 16 x - 80 \cdot 0 + 320 = 0$

Schritt 1.2.1.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$x^{2} + 0 + 16 x - 80 \cdot 0 + 320 = 0$

Schritt 1.2.1.1.3

Mutltipliziere $- 80$ mit $0$ .

$x^{2} + 0 + 16 x + 0 + 320 = 0$

Schritt 1.2.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} + 0 + 16 x + 0 + 320$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.2.1

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$x^{2} + 16 x + 0 + 320 = 0$

Schritt 1.2.1.2.2

Addiere $x^{2} + 16 x$ und $0$ .

$x^{2} + 16 x + 320 = 0$

Schritt 1.2.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 16$ und $c = 320$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 320)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1.1

Potenziere $16$ mit $2$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 320}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 320$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 320}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $320$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 1280}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.3

Subtrahiere $1280$ von $256$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 1024}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.4

Schreibe $- 1024$ als $- 1 (1024)$ um.

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1024}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (1024)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1024}$ um.

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1024}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 16 \pm i \cdot \sqrt{1024}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.7

Schreibe $1024$ als $32^{2}$ um.

$x = \frac{- 16 \pm i \cdot \sqrt{32^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{- 16 \pm i \cdot 32}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.9

Bringe $32$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 16 \pm 32 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 16 \pm 32 i}{2}$

Schritt 1.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 16 \pm 32 i}{2}$ .

$x = - 8 \pm 16 i$

Schritt 1.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.1.1

Potenziere $16$ mit $2$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 320}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 320$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 320}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $320$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 1280}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.3

Subtrahiere $1280$ von $256$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 1024}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.4

Schreibe $- 1024$ als $- 1 (1024)$ um.

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1024}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (1024)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1024}$ um.

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1024}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 16 \pm i \cdot \sqrt{1024}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.7

Schreibe $1024$ als $32^{2}$ um.

$x = \frac{- 16 \pm i \cdot \sqrt{32^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{- 16 \pm i \cdot 32}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.9

Bringe $32$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 16 \pm 32 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 16 \pm 32 i}{2}$

Schritt 1.2.5.3

Vereinfache $\frac{- 16 \pm 32 i}{2}$ .

$x = - 8 \pm 16 i$

Schritt 1.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = - 8 + 16 i$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.1.1

Potenziere $16$ mit $2$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 320}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 320$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 320}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $320$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 1280}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.3

Subtrahiere $1280$ von $256$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 1024}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.4

Schreibe $- 1024$ als $- 1 (1024)$ um.

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1024}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (1024)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1024}$ um.

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1024}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 16 \pm i \cdot \sqrt{1024}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.7

Schreibe $1024$ als $32^{2}$ um.

$x = \frac{- 16 \pm i \cdot \sqrt{32^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{- 16 \pm i \cdot 32}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.1.9

Bringe $32$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 16 \pm 32 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 16 \pm 32 i}{2}$

Schritt 1.2.6.3

Vereinfache $\frac{- 16 \pm 32 i}{2}$ .

$x = - 8 \pm 16 i$

Schritt 1.2.6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = - 8 - 16 i$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 8 + 16 i, - 8 - 16 i$

Schritt 1.3

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $Keine$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

${(0)}^{2} + 4 y^{2} + 16 (0) - 80 y + 320 = 0$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Vereinfache ${(0)}^{2} + 4 y^{2} + 16 (0) - 80 y + 320$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 + 4 y^{2} + 16 (0) - 80 y + 320 = 0$

Schritt 2.2.1.1.2

Mutltipliziere $16$ mit $0$ .

$0 + 4 y^{2} + 0 - 80 y + 320 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $0 + 4 y^{2} + 0 - 80 y + 320$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.2.1

Addiere $0$ und $4 y^{2}$ .

$4 y^{2} + 0 - 80 y + 320 = 0$

Schritt 2.2.1.2.2

Addiere $4 y^{2}$ und $0$ .

$4 y^{2} - 80 y + 320 = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $4$ aus $4 y^{2} - 80 y + 320$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 y^{2}$ heraus.

$4 (y^{2}) - 80 y + 320 = 0$

Schritt 2.2.2.2

Faktorisiere $4$ aus $- 80 y$ heraus.

$4 (y^{2}) + 4 (- 20 y) + 320 = 0$

Schritt 2.2.2.3

Faktorisiere $4$ aus $320$ heraus.

$4 y^{2} + 4 (- 20 y) + 4 \cdot 80 = 0$

Schritt 2.2.2.4

Faktorisiere $4$ aus $4 y^{2} + 4 (- 20 y)$ heraus.

$4 (y^{2} - 20 y) + 4 \cdot 80 = 0$

Schritt 2.2.2.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (y^{2} - 20 y) + 4 \cdot 80$ heraus.

$4 (y^{2} - 20 y + 80) = 0$

Schritt 2.2.3

Teile jeden Ausdruck in $4 (y^{2} - 20 y + 80) = 0$ durch $4$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 (y^{2} - 20 y + 80) = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 (y^{2} - 20 y + 80)}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (y^{2} - 20 y + 80)}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 2.2.3.2.1.2

Dividiere $y^{2} - 20 y + 80$ durch $1$ .

$y^{2} - 20 y + 80 = \frac{0}{4}$

Schritt 2.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$y^{2} - 20 y + 80 = 0$

Schritt 2.2.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.2.5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 20$ und $c = 80$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 80)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.6.1.1

Potenziere $- 20$ mit $2$ .

$y = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 1 \cdot 80}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 80$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 80}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $80$ .

$y = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 320}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.3

Subtrahiere $320$ von $400$ .

$y = \frac{20 \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.4

Schreibe $80$ als $4^{2} \cdot 5$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.6.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $80$ heraus.

$y = \frac{20 \pm \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{20 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{20 \pm 4 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{20 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.2.6.3

Vereinfache $\frac{20 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$ .

$y = 10 \pm 2 \sqrt{5}$

Schritt 2.2.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.7.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.7.1.1

Potenziere $- 20$ mit $2$ .

$y = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 1 \cdot 80}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 80$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 80}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $80$ .

$y = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 320}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.1.3

Subtrahiere $320$ von $400$ .

$y = \frac{20 \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.1.4

Schreibe $80$ als $4^{2} \cdot 5$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.7.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $80$ heraus.

$y = \frac{20 \pm \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{20 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{20 \pm 4 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{20 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.2.7.3

Vereinfache $\frac{20 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$ .

$y = 10 \pm 2 \sqrt{5}$

Schritt 2.2.7.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = 10 + 2 \sqrt{5}$

Schritt 2.2.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.8.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.8.1.1

Potenziere $- 20$ mit $2$ .

$y = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 1 \cdot 80}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 80$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 80}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.8.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $80$ .

$y = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 320}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.8.1.3

Subtrahiere $320$ von $400$ .

$y = \frac{20 \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.8.1.4

Schreibe $80$ als $4^{2} \cdot 5$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.8.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $80$ heraus.

$y = \frac{20 \pm \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.8.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{20 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{20 \pm 4 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{20 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.2.8.3

Vereinfache $\frac{20 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$ .

$y = 10 \pm 2 \sqrt{5}$

Schritt 2.2.8.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = 10 - 2 \sqrt{5}$

Schritt 2.2.9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = 10 + 2 \sqrt{5}, 10 - 2 \sqrt{5}$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 10 + 2 \sqrt{5}), (0, 10 - 2 \sqrt{5})$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $Keine$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 10 + 2 \sqrt{5}), (0, 10 - 2 \sqrt{5})$

Schritt 4