Algebra Beispiele

$\frac{2}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x} = \frac{2}{x}$

Schritt 1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{2} + 1, x, x$

Schritt 1.2

Da $x^{2} + 1, x, x$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, gibt es vier Schritte, um das kgV zu ermitteln. Bestimme das kgV für den numerischen, variablen und zusammengesetzten Teil. Multipliziere sie dann miteinander.

Schritte, um das kgV für $x^{2} + 1, x, x$ zu finden, sind:

1. Finde das kgV für den numerischen Teil $1, 1, 1$ .

2. Finde das kgV für den variablen Teil $x^{1}, x^{1}$ .

Finde das kgV für den zusammengesetzten variablen Teil $x^{2} + 1$ .

4. Multipliziere jedes kgV miteinander.

Schritt 1.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 1.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 1.5

Das kgV von $1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 1.6

Der Teiler von $x^{1}$ ist $x$ selbst.

$x^{1} = x$

$x$ occurs $1$ time.

Schritt 1.7

Das kgV von $x^{1}, x^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x$

Schritt 1.8

Der Teiler von $x^{2} + 1$ ist $x^{2} + 1$ selbst.

$(x^{2} + 1) = x^{2} + 1$

$(x^{2} + 1)$ occurs $1$ time.

Schritt 1.9

Das kgV von $x^{2} + 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x^{2} + 1$

Schritt 1.10

Das kleinste gemeinsame Vielfache $LCM$ einer Reihe von Zahlen ist die kleinste Zahl, von der die Zahlen Teiler sind.

$x (x^{2} + 1)$

Schritt 2

Multipliziere jeden Term in $\frac{2}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x} = \frac{2}{x}$ mit $x (x^{2} + 1)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{2}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x} = \frac{2}{x}$ mit $x (x^{2} + 1)$ .

$\frac{2}{x^{2} + 1} (x (x^{2} + 1)) + \frac{1}{x} (x (x^{2} + 1)) = \frac{2}{x} (x (x^{2} + 1))$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 1$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus $x (x^{2} + 1)$ heraus.

$\frac{2}{x^{2} + 1} ((x^{2} + 1) x) + \frac{1}{x} (x (x^{2} + 1)) = \frac{2}{x} (x (x^{2} + 1))$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{x^{2} + 1} ((x^{2} + 1) x) + \frac{1}{x} (x (x^{2} + 1)) = \frac{2}{x} (x (x^{2} + 1))$

Schritt 2.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$2 x + \frac{1}{x} (x (x^{2} + 1)) = \frac{2}{x} (x (x^{2} + 1))$

Schritt 2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x + \frac{1}{x} (x (x^{2} + 1)) = \frac{2}{x} (x (x^{2} + 1))$

Schritt 2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2 x + x^{2} + 1 = \frac{2}{x} (x (x^{2} + 1))$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x + x^{2} + 1 = \frac{2}{x} (x (x^{2} + 1))$

Schritt 2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 x + x^{2} + 1 = 2 (x^{2} + 1)$

Schritt 2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x + x^{2} + 1 = 2 x^{2} + 2 \cdot 1$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 x + x^{2} + 1 = 2 x^{2} + 2$

Schritt 3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $2 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x + x^{2} + 1 - 2 x^{2} = 2$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$2 x - x^{2} + 1 = 2$

Schritt 3.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x - x^{2} + 1 - 2 = 0$

Schritt 3.3

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$2 x - x^{2} - 1 = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $2 x - x^{2} - 1$ heraus.

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Schritt 3.4.1.1

Stelle $2 x$ und $- x^{2}$ um.

$- x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Schritt 3.4.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- (x^{2}) + 2 x - 1 = 0$

Schritt 3.4.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $2 x$ heraus.

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 = 0$

Schritt 3.4.1.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 3.4.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (- 2 x)$ heraus.

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 3.4.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} - 2 x) - 1 (1)$ heraus.

$- (x^{2} - 2 x + 1) = 0$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.4.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- (x^{2} - 2 x + 1^{2}) = 0$

Schritt 3.4.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 3.4.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$- (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 3.4.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$- {(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 3.5

Teile jeden Ausdruck in $- {(x - 1)}^{2} = 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- {(x - 1)}^{2} = 0$ durch $- 1$ .

$\frac{- {(x - 1)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 3.5.2.2

Dividiere ${(x - 1)}^{2}$ durch $1$ .

${(x - 1)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 3.6

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 3.7

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$