Algebra Beispiele

${(x - \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$x^{3} + 3 x^{2} (- \frac{1}{x}) + 3 x {(- \frac{1}{x})}^{2} + {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x}$ in den Zähler.

$x^{3} + 3 x^{2} \frac{- 1}{x} + 3 x {(- \frac{1}{x})}^{2} + {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$x^{3} + x (3 x) \frac{- 1}{x} + 3 x {(- \frac{1}{x})}^{2} + {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{3} + x (3 x) \frac{- 1}{x} + 3 x {(- \frac{1}{x})}^{2} + {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 2.1.4

Forme den Ausdruck um.

$x^{3} + 3 x \cdot - 1 + 3 x {(- \frac{1}{x})}^{2} + {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x^{3} - 3 x + 3 x {(- \frac{1}{x})}^{2} + {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 2.3

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.3.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{x}$ an.

$x^{3} - 3 x + 3 x ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{2}) + {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 2.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{x}$ an.

$x^{3} - 3 x + 3 x ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{x^{2}}) + {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 2.4

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{3} - 3 x + 3 x (1 \frac{1^{2}}{x^{2}}) + {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{x^{2}}$ mit $1$ .

$x^{3} - 3 x + 3 x \frac{1^{2}}{x^{2}} + {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.6.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x$ heraus.

$x^{3} - 3 x + x \cdot 3 \frac{1^{2}}{x^{2}} + {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 2.6.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x^{3} - 3 x + x \cdot 3 \frac{1^{2}}{x \cdot x} + {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 2.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{3} - 3 x + x \cdot 3 \frac{1^{2}}{x \cdot x} + {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 2.6.4

Forme den Ausdruck um.

$x^{3} - 3 x + 3 \frac{1^{2}}{x} + {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 2.7

Kombiniere $3$ und $\frac{1^{2}}{x}$ .

$x^{3} - 3 x + \frac{3 \cdot 1^{2}}{x} + {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 2.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x^{3} - 3 x + \frac{3 \cdot 1}{x} + {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} + {(- \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 2.10

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.10.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{x}$ an.

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} + {(- 1)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 2.10.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{x}$ an.

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} + {(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{x^{3}}$

Schritt 2.11

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} - \frac{1^{3}}{x^{3}}$

Schritt 2.12

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} - \frac{1}{x^{3}}$