Algebra Beispiele

$- x^{2} + 3 x - 8 = 0$

Schritt 1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2

Setze die Werte $a = - 1$ , $b = 3$ und $c = - 8$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 8)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot - 8$ .

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Schritt 3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 4 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 8$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.3

Subtrahiere $32$ von $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.4

Schreibe $- 23$ als $- 1 (23)$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (23)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{- 2}$

Schritt 3.3

Vereinfache $\frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{- 2}$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{23}}{2}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot - 8$ .

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 4 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 8$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $32$ von $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.1.4

Schreibe $- 23$ als $- 1 (23)$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (23)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{- 2}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{- 2}$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{23}}{2}$

Schritt 4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{3 + i \sqrt{23}}{2}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot - 8$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 4 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 8$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $32$ von $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $- 23$ als $- 1 (23)$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (23)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{- 2}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{- 2}$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{23}}{2}$

Schritt 5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{3 - i \sqrt{23}}{2}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{3 + i \sqrt{23}}{2}, \frac{3 - i \sqrt{23}}{2}$

Schritt 7

Die Definitionsmenge ist die Menge aller gültigen $x$ -Werte.

${x | x = \frac{3 + i \sqrt{23}}{2}, \frac{3 - i \sqrt{23}}{2}}$

Schritt 8

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y \in ℝ}$

Schritt 9

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: ${x | x = \frac{3 + i \sqrt{23}}{2}, \frac{3 - i \sqrt{23}}{2}}$

Wertebereich: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Schritt 10