Algebra Beispiele

$x^{2} + y^{2} = 25$ $2 x + y = 10$

Schritt 1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = 10 - 2 x$

$x^{2} + y^{2} = 25$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $10 - 2 x$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $y$ in $x^{2} + y^{2} = 25$ durch $10 - 2 x$ .

$x^{2} + {(10 - 2 x)}^{2} = 25$

$y = 10 - 2 x$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $x^{2} + {(10 - 2 x)}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Schreibe ${(10 - 2 x)}^{2}$ als $(10 - 2 x) (10 - 2 x)$ um.

$x^{2} + (10 - 2 x) (10 - 2 x) = 25$

$y = 10 - 2 x$

Schritt 2.2.1.1.2

Multipliziere $(10 - 2 x) (10 - 2 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 10 (10 - 2 x) - 2 x (10 - 2 x) = 25$

$y = 10 - 2 x$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 10 \cdot 10 + 10 (- 2 x) - 2 x (10 - 2 x) = 25$

$y = 10 - 2 x$

Schritt 2.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 10 \cdot 10 + 10 (- 2 x) - 2 x \cdot 10 - 2 x (- 2 x) = 25$

$y = 10 - 2 x$

$x^{2} + 10 \cdot 10 + 10 (- 2 x) - 2 x \cdot 10 - 2 x (- 2 x) = 25$

$y = 10 - 2 x$

Schritt 2.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $10$ mit $10$ .

$x^{2} + 100 + 10 (- 2 x) - 2 x \cdot 10 - 2 x (- 2 x) = 25$

$y = 10 - 2 x$

Schritt 2.2.1.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $10$ .

$x^{2} + 100 - 20 x - 2 x \cdot 10 - 2 x (- 2 x) = 25$

$y = 10 - 2 x$

Schritt 2.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $10$ mit $- 2$ .

$x^{2} + 100 - 20 x - 20 x - 2 x (- 2 x) = 25$

$y = 10 - 2 x$

Schritt 2.2.1.1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} + 100 - 20 x - 20 x - 2 \cdot (- 2 x \cdot x) = 25$

$y = 10 - 2 x$

Schritt 2.2.1.1.3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.1.3.1.5.1

Bewege $x$ .

$x^{2} + 100 - 20 x - 20 x - 2 \cdot (- 2 (x \cdot x)) = 25$

$y = 10 - 2 x$

Schritt 2.2.1.1.3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + 100 - 20 x - 20 x - 2 \cdot (- 2 x^{2}) = 25$

$y = 10 - 2 x$

$x^{2} + 100 - 20 x - 20 x - 2 \cdot (- 2 x^{2}) = 25$

$y = 10 - 2 x$

Schritt 2.2.1.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$x^{2} + 100 - 20 x - 20 x + 4 x^{2} = 25$

$y = 10 - 2 x$

$x^{2} + 100 - 20 x - 20 x + 4 x^{2} = 25$

$y = 10 - 2 x$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Subtrahiere $20 x$ von $- 20 x$ .

$x^{2} + 100 - 40 x + 4 x^{2} = 25$

$y = 10 - 2 x$

$x^{2} + 100 - 40 x + 4 x^{2} = 25$

$y = 10 - 2 x$

$x^{2} + 100 - 40 x + 4 x^{2} = 25$

$y = 10 - 2 x$

Schritt 2.2.1.2

Addiere $x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$5 x^{2} + 100 - 40 x = 25$

$y = 10 - 2 x$

$5 x^{2} + 100 - 40 x = 25$

$y = 10 - 2 x$

$5 x^{2} + 100 - 40 x = 25$

$y = 10 - 2 x$

$5 x^{2} + 100 - 40 x = 25$

$y = 10 - 2 x$

Schritt 3

Löse in $5 x^{2} + 100 - 40 x = 25$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $25$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{2} + 100 - 40 x - 25 = 0$

$y = 10 - 2 x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $25$ von $100$ .

$5 x^{2} - 40 x + 75 = 0$

$y = 10 - 2 x$

Schritt 3.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{2} - 40 x + 75$ heraus.

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{2}$ heraus.

$5 (x^{2}) - 40 x + 75 = 0$

$y = 10 - 2 x$

Schritt 3.3.1.2

Faktorisiere $5$ aus $- 40 x$ heraus.

$5 (x^{2}) + 5 (- 8 x) + 75 = 0$

$y = 10 - 2 x$

Schritt 3.3.1.3

Faktorisiere $5$ aus $75$ heraus.

$5 x^{2} + 5 (- 8 x) + 5 \cdot 15 = 0$

$y = 10 - 2 x$

Schritt 3.3.1.4

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{2} + 5 (- 8 x)$ heraus.

$5 (x^{2} - 8 x) + 5 \cdot 15 = 0$

$y = 10 - 2 x$

Schritt 3.3.1.5

Faktorisiere $5$ aus $5 (x^{2} - 8 x) + 5 \cdot 15$ heraus.

$5 (x^{2} - 8 x + 15) = 0$

$y = 10 - 2 x$

$5 (x^{2} - 8 x + 15) = 0$

$y = 10 - 2 x$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 8 x + 15$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.3.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $15$ und deren Summe $- 8$ ist.

$- 5, - 3$

$y = 10 - 2 x$

Schritt 3.3.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$5 ((x - 5) (x - 3)) = 0$

$y = 10 - 2 x$

$5 ((x - 5) (x - 3)) = 0$

$y = 10 - 2 x$

Schritt 3.3.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$5 (x - 5) (x - 3) = 0$

$y = 10 - 2 x$

$5 (x - 5) (x - 3) = 0$

$y = 10 - 2 x$

$5 (x - 5) (x - 3) = 0$

$y = 10 - 2 x$

Schritt 3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 3 = 0$

$y = 10 - 2 x$

Schritt 3.5

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

$y = 10 - 2 x$

Schritt 3.5.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

$y = 10 - 2 x$

$x = 5$

$y = 10 - 2 x$

Schritt 3.6

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$y = 10 - 2 x$

Schritt 3.6.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

$y = 10 - 2 x$

$x = 3$

$y = 10 - 2 x$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $5 (x - 5) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 5, 3$

$y = 10 - 2 x$

$x = 5, 3$

$y = 10 - 2 x$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $5$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $x$ in $y = 10 - 2 x$ durch $5$ .

$y = 10 - 2 \cdot 5$

$x = 5$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $10 - 2 \cdot 5$ .

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$y = 10 - 10$

$x = 5$

Schritt 4.2.1.2

Subtrahiere $10$ von $10$ .

$y = 0$

$x = 5$

$y = 0$

$x = 5$

$y = 0$

$x = 5$

$y = 0$

$x = 5$

Schritt 5

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 5.1

Ersetze alle $x$ in $y = 10 - 2 x$ durch $3$ .

$y = 10 - 2 \cdot 3$

$x = 3$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $10 - 2 \cdot 3$ .

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Schritt 5.2.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$y = 10 - 6$

$x = 3$

Schritt 5.2.1.2

Subtrahiere $6$ von $10$ .

$y = 4$

$x = 3$

$y = 4$

$x = 3$

$y = 4$

$x = 3$

$y = 4$

$x = 3$

Schritt 6

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(5, 0)$

$(3, 4)$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(5, 0), (3, 4)$

Gleichungsform:

$x = 5, y = 0$

$x = 3, y = 4$

Schritt 8