Algebra Beispiele

$f (x) = - 5 x {(2 x + 1)}^{2} (x^{2} - 6) (x^{2} + 9)$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = - 5 x {(2 x + 1)}^{2} (x^{2} - 6) (x^{2} + 9)$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $- 5 x {(2 x + 1)}^{2} (x^{2} - 6) (x^{2} + 9) = 0$ um.

$- 5 x {(2 x + 1)}^{2} (x^{2} - 6) (x^{2} + 9) = 0$

Schritt 1.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

${(2 x + 1)}^{2} = 0$

$x^{2} - 6 = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

Schritt 1.2.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.4

Setze ${(2 x + 1)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze ${(2 x + 1)}^{2}$ gleich $0$ .

${(2 x + 1)}^{2} = 0$

Schritt 1.2.4.2

Löse ${(2 x + 1)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.2.1

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Schritt 1.2.4.2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.2.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 1$

Schritt 1.2.4.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.4.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 1.2.4.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 1.2.4.2.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 1.2.4.2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.5

Setze $x^{2} - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $x^{2} - 6$ gleich $0$ .

$x^{2} - 6 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Löse $x^{2} - 6 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.2.1

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 6$

Schritt 1.2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{6}$

Schritt 1.2.5.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.5.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{6}$

Schritt 1.2.5.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{6}$

Schritt 1.2.5.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Schritt 1.2.6

Setze $x^{2} + 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Setze $x^{2} + 9$ gleich $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Schritt 1.2.6.2

Löse $x^{2} + 9 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.2.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 9$

Schritt 1.2.6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Schritt 1.2.6.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Schritt 1.2.6.2.3.1

Schreibe $- 9$ als $- 1 (9)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Schritt 1.2.6.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (9)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Schritt 1.2.6.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Schritt 1.2.6.2.3.4

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Schritt 1.2.6.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 3$

Schritt 1.2.6.2.3.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 3 i$

Schritt 1.2.6.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.6.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3 i$

Schritt 1.2.6.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3 i$

Schritt 1.2.6.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3 i, - 3 i$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 5 x {(2 x + 1)}^{2} (x^{2} - 6) (x^{2} + 9) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - \frac{1}{2}, \sqrt{6}, - \sqrt{6}, 3 i, - 3 i$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (- \frac{1}{2}, 0), (\sqrt{6}, 0), (- \sqrt{6}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = - 5 \cdot 0 {(2 (0) + 1)}^{2} ({(0)}^{2} - 6) ({(0)}^{2} + 9)$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = - 5 \cdot (0 {(2 (0) + 1)}^{2} (0^{2} - 6) ({(0)}^{2} + 9))$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = - 5 \cdot (0 {(2 (0) + 1)}^{2} (0^{2} - 6) (0^{2} + 9))$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = - 5 \cdot (0 {(2 (0) + 1)}^{2} ({(0)}^{2} - 6) ({(0)}^{2} + 9))$

Schritt 2.2.4

Vereinfache $- 5 \cdot (0 {(2 (0) + 1)}^{2} ({(0)}^{2} - 6) ({(0)}^{2} + 9))$ .

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Schritt 2.2.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$y = - 5 \cdot (0 {(0 + 1)}^{2} ({(0)}^{2} - 6) ({(0)}^{2} + 9))$

Schritt 2.2.4.2

Addiere $0$ und $1$ .

$y = - 5 \cdot (0 \cdot 1^{2} ({(0)}^{2} - 6) ({(0)}^{2} + 9))$

Schritt 2.2.4.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = - 5 \cdot (0 \cdot 1 ({(0)}^{2} - 6) ({(0)}^{2} + 9))$

Schritt 2.2.4.4

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$y = - 5 \cdot (0 ({(0)}^{2} - 6) ({(0)}^{2} + 9))$

Schritt 2.2.4.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = - 5 \cdot (0 (0 - 6) ({(0)}^{2} + 9))$

Schritt 2.2.4.6

Subtrahiere $6$ von $0$ .

$y = - 5 \cdot (0 \cdot - 6 ({(0)}^{2} + 9))$

Schritt 2.2.4.7

Mutltipliziere $0$ mit $- 6$ .

$y = - 5 \cdot (0 ({(0)}^{2} + 9))$

Schritt 2.2.4.8

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = - 5 \cdot (0 (0 + 9))$

Schritt 2.2.4.9

Addiere $0$ und $9$ .

$y = - 5 \cdot (0 \cdot 9)$

Schritt 2.2.4.10

Multipliziere $- 5 (0 \cdot 9)$ .

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Schritt 2.2.4.10.1

Mutltipliziere $0$ mit $9$ .

$y = - 5 \cdot 0$

Schritt 2.2.4.10.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $0$ .

$y = 0$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (- \frac{1}{2}, 0), (\sqrt{6}, 0), (- \sqrt{6}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 4