Algebra Beispiele

$\sqrt{3 t + 1} + \sqrt{5 - t} = 4$

Schritt 1

Subtrahiere $\sqrt{5 - t}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{3 t + 1} = 4 - \sqrt{5 - t}$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{3 t + 1}}^{2} = {(4 - \sqrt{5 - t})}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 t + 1}$ als ${(3 t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(3 t + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 - \sqrt{5 - t})}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(3 t + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 t + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 t + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 - \sqrt{5 - t})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(3 t + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 - \sqrt{5 - t})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(3 t + 1)}^{1} = {(4 - \sqrt{5 - t})}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$3 t + 1 = {(4 - \sqrt{5 - t})}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(4 - \sqrt{5 - t})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(4 - \sqrt{5 - t})}^{2}$ als $(4 - \sqrt{5 - t}) (4 - \sqrt{5 - t})$ um.

$3 t + 1 = (4 - \sqrt{5 - t}) (4 - \sqrt{5 - t})$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(4 - \sqrt{5 - t}) (4 - \sqrt{5 - t})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 t + 1 = 4 (4 - \sqrt{5 - t}) - \sqrt{5 - t} (4 - \sqrt{5 - t})$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 t + 1 = 4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{5 - t}) - \sqrt{5 - t} (4 - \sqrt{5 - t})$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 t + 1 = 4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{5 - t}) - \sqrt{5 - t} \cdot 4 - \sqrt{5 - t} (- \sqrt{5 - t})$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$3 t + 1 = 16 + 4 (- \sqrt{5 - t}) - \sqrt{5 - t} \cdot 4 - \sqrt{5 - t} (- \sqrt{5 - t})$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$3 t + 1 = 16 - 4 \sqrt{5 - t} - \sqrt{5 - t} \cdot 4 - \sqrt{5 - t} (- \sqrt{5 - t})$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$3 t + 1 = 16 - 4 \sqrt{5 - t} - 4 \sqrt{5 - t} - \sqrt{5 - t} (- \sqrt{5 - t})$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Multipliziere $- \sqrt{5 - t} (- \sqrt{5 - t})$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$3 t + 1 = 16 - 4 \sqrt{5 - t} - 4 \sqrt{5 - t} + 1 \sqrt{5 - t} \sqrt{5 - t}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{5 - t}$ mit $1$ .

$3 t + 1 = 16 - 4 \sqrt{5 - t} - 4 \sqrt{5 - t} + \sqrt{5 - t} \sqrt{5 - t}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.3

Potenziere $\sqrt{5 - t}$ mit $1$ .

$3 t + 1 = 16 - 4 \sqrt{5 - t} - 4 \sqrt{5 - t} + {\sqrt{5 - t}}^{1} \sqrt{5 - t}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.4

Potenziere $\sqrt{5 - t}$ mit $1$ .

$3 t + 1 = 16 - 4 \sqrt{5 - t} - 4 \sqrt{5 - t} + {\sqrt{5 - t}}^{1} {\sqrt{5 - t}}^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 t + 1 = 16 - 4 \sqrt{5 - t} - 4 \sqrt{5 - t} + {\sqrt{5 - t}}^{1 + 1}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$3 t + 1 = 16 - 4 \sqrt{5 - t} - 4 \sqrt{5 - t} + {\sqrt{5 - t}}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5

Schreibe ${\sqrt{5 - t}}^{2}$ als $5 - t$ um.

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Schritt 3.3.1.3.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5 - t}$ als ${(5 - t)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$3 t + 1 = 16 - 4 \sqrt{5 - t} - 4 \sqrt{5 - t} + {({(5 - t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 t + 1 = 16 - 4 \sqrt{5 - t} - 4 \sqrt{5 - t} + {(5 - t)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$3 t + 1 = 16 - 4 \sqrt{5 - t} - 4 \sqrt{5 - t} + {(5 - t)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 t + 1 = 16 - 4 \sqrt{5 - t} - 4 \sqrt{5 - t} + {(5 - t)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$3 t + 1 = 16 - 4 \sqrt{5 - t} - 4 \sqrt{5 - t} + {(5 - t)}^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.5

Vereinfache.

$3 t + 1 = 16 - 4 \sqrt{5 - t} - 4 \sqrt{5 - t} + 5 - t$

Schritt 3.3.1.3.2

Addiere $16$ und $5$ .

$3 t + 1 = 21 - 4 \sqrt{5 - t} - 4 \sqrt{5 - t} - t$

Schritt 3.3.1.3.3

Subtrahiere $4 \sqrt{5 - t}$ von $- 4 \sqrt{5 - t}$ .

$3 t + 1 = 21 - 8 \sqrt{5 - t} - t$

Schritt 4

Löse nach $- 8 \sqrt{5 - t}$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $21 - 8 \sqrt{5 - t} - t = 3 t + 1$ um.

$21 - 8 \sqrt{5 - t} - t = 3 t + 1$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die nicht $- 8 \sqrt{5 - t}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $21$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 8 \sqrt{5 - t} - t = 3 t + 1 - 21$

Schritt 4.2.2

Addiere $t$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 8 \sqrt{5 - t} = 3 t + 1 - 21 + t$

Schritt 4.2.3

Addiere $3 t$ und $t$ .

$- 8 \sqrt{5 - t} = 4 t + 1 - 21$

Schritt 4.2.4

Subtrahiere $21$ von $1$ .

$- 8 \sqrt{5 - t} = 4 t - 20$

Schritt 5

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- 8 \sqrt{5 - t})}^{2} = {(4 t - 20)}^{2}$

Schritt 6

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5 - t}$ als ${(5 - t)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- 8 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 t - 20)}^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache ${(- 8 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- 8 {(5 - t)}^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 8)}^{2} {({(5 - t)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 t - 20)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$64 {({(5 - t)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 t - 20)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(5 - t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$64 {(5 - t)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 t - 20)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$64 {(5 - t)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 t - 20)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$64 {(5 - t)}^{1} = {(4 t - 20)}^{2}$

Schritt 6.2.1.4

Vereinfache.

$64 (5 - t) = {(4 t - 20)}^{2}$

Schritt 6.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$64 \cdot 5 + 64 (- t) = {(4 t - 20)}^{2}$

Schritt 6.2.1.6

Multipliziere.

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Schritt 6.2.1.6.1

Mutltipliziere $64$ mit $5$ .

$320 + 64 (- t) = {(4 t - 20)}^{2}$

Schritt 6.2.1.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $64$ .

$320 - 64 t = {(4 t - 20)}^{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache ${(4 t - 20)}^{2}$ .

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Schritt 6.3.1.1

Schreibe ${(4 t - 20)}^{2}$ als $(4 t - 20) (4 t - 20)$ um.

$320 - 64 t = (4 t - 20) (4 t - 20)$

Schritt 6.3.1.2

Multipliziere $(4 t - 20) (4 t - 20)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$320 - 64 t = 4 t (4 t - 20) - 20 (4 t - 20)$

Schritt 6.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$320 - 64 t = 4 t (4 t) + 4 t \cdot - 20 - 20 (4 t - 20)$

Schritt 6.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$320 - 64 t = 4 t (4 t) + 4 t \cdot - 20 - 20 (4 t) - 20 \cdot - 20$

Schritt 6.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$320 - 64 t = 4 \cdot 4 t \cdot t + 4 t \cdot - 20 - 20 (4 t) - 20 \cdot - 20$

Schritt 6.3.1.3.1.2

Multipliziere $t$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.1.3.1.2.1

Bewege $t$ .

$320 - 64 t = 4 \cdot 4 (t \cdot t) + 4 t \cdot - 20 - 20 (4 t) - 20 \cdot - 20$

Schritt 6.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$320 - 64 t = 4 \cdot 4 t^{2} + 4 t \cdot - 20 - 20 (4 t) - 20 \cdot - 20$

Schritt 6.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$320 - 64 t = 16 t^{2} + 4 t \cdot - 20 - 20 (4 t) - 20 \cdot - 20$

Schritt 6.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 20$ mit $4$ .

$320 - 64 t = 16 t^{2} - 80 t - 20 (4 t) - 20 \cdot - 20$

Schritt 6.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 20$ .

$320 - 64 t = 16 t^{2} - 80 t - 80 t - 20 \cdot - 20$

Schritt 6.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 20$ .

$320 - 64 t = 16 t^{2} - 80 t - 80 t + 400$

Schritt 6.3.1.3.2

Subtrahiere $80 t$ von $- 80 t$ .

$320 - 64 t = 16 t^{2} - 160 t + 400$

Schritt 7

Löse nach $t$ auf.

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Schritt 7.1

Da $t$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$16 t^{2} - 160 t + 400 = 320 - 64 t$

Schritt 7.2

Bringe alle Terme, die $t$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.2.1

Addiere $64 t$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$16 t^{2} - 160 t + 400 + 64 t = 320$

Schritt 7.2.2

Addiere $- 160 t$ und $64 t$ .

$16 t^{2} - 96 t + 400 = 320$

Schritt 7.3

Subtrahiere $320$ von beiden Seiten der Gleichung.

$16 t^{2} - 96 t + 400 - 320 = 0$

Schritt 7.4

Subtrahiere $320$ von $400$ .

$16 t^{2} - 96 t + 80 = 0$

Schritt 7.5

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.5.1

Faktorisiere $16$ aus $16 t^{2} - 96 t + 80$ heraus.

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Schritt 7.5.1.1

Faktorisiere $16$ aus $16 t^{2}$ heraus.

$16 (t^{2}) - 96 t + 80 = 0$

Schritt 7.5.1.2

Faktorisiere $16$ aus $- 96 t$ heraus.

$16 (t^{2}) + 16 (- 6 t) + 80 = 0$

Schritt 7.5.1.3

Faktorisiere $16$ aus $80$ heraus.

$16 t^{2} + 16 (- 6 t) + 16 \cdot 5 = 0$

Schritt 7.5.1.4

Faktorisiere $16$ aus $16 t^{2} + 16 (- 6 t)$ heraus.

$16 (t^{2} - 6 t) + 16 \cdot 5 = 0$

Schritt 7.5.1.5

Faktorisiere $16$ aus $16 (t^{2} - 6 t) + 16 \cdot 5$ heraus.

$16 (t^{2} - 6 t + 5) = 0$

Schritt 7.5.2

Faktorisiere.

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Schritt 7.5.2.1

Faktorisiere $t^{2} - 6 t + 5$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 7.5.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $5$ und deren Summe $- 6$ ist.

$- 5, - 1$

Schritt 7.5.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$16 ((t - 5) (t - 1)) = 0$

Schritt 7.5.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$16 (t - 5) (t - 1) = 0$

Schritt 7.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$t - 5 = 0$

$t - 1 = 0$

Schritt 7.7

Setze $t - 5$ gleich $0$ und löse nach $t$ auf.

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Schritt 7.7.1

Setze $t - 5$ gleich $0$ .

$t - 5 = 0$

Schritt 7.7.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$t = 5$

Schritt 7.8

Setze $t - 1$ gleich $0$ und löse nach $t$ auf.

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Schritt 7.8.1

Setze $t - 1$ gleich $0$ .

$t - 1 = 0$

Schritt 7.8.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$t = 1$

Schritt 7.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $16 (t - 5) (t - 1) = 0$ wahr machen.

$t = 5, 1$