Algebra Beispiele

$4 x^{2} - y^{2} - 6 y = 25$

Schritt 1

Wende die quadratische Ergänzung auf $- y^{2} - 6 y$ an.

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Schritt 1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$b = - 6$

$c = 0$

Schritt 1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 6}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $2$ .

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Schritt 1.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.3.2.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 3$

Schritt 1.3.2.2

Schreibe $- 1 \cdot - 3$ als $- - 3$ um.

$d = - - 3$

Schritt 1.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$d = 3$

Schritt 1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot - 1}$

Schritt 1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$e = 0 - \frac{36}{- 4}$

Schritt 1.4.2.1.3

Dividiere $36$ durch $- 4$ .

$e = 0 - - 9$

Schritt 1.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$e = 0 + 9$

Schritt 1.4.2.2

Addiere $0$ und $9$ .

$e = 9$

Schritt 1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- {(y + 3)}^{2} + 9$ ein.

$- {(y + 3)}^{2} + 9$

Schritt 2

Setze $- {(y + 3)}^{2} + 9$ für $- y^{2} - 6 y$ ein in der Gleichung $4 x^{2} - y^{2} - 6 y = 25$ .

$4 x^{2} - {(y + 3)}^{2} + 9 = 25$

Schritt 3

Bringe $9$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $9$ auf beiden Seiten.

$4 x^{2} - {(y + 3)}^{2} = 25 - 9$

Schritt 4

Subtrahiere $9$ von $25$ .

$4 x^{2} - {(y + 3)}^{2} = 16$

Schritt 5

Teile jeden Term durch $16$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{4 x^{2}}{16} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{16} = \frac{16}{16}$

Schritt 6

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{16} = 1$