Algebra Beispiele

$x^{2} - 5 y x + 4 y^{2} = 0$

Schritt 1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 5 y$ und $c = 4 y^{2}$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{5 y \pm \sqrt{{(- 5 y)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (4 y^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Schreibe $4 \cdot 1 \cdot 4 y^{2}$ als ${(2 \cdot 1 \cdot 2 y)}^{2}$ um.

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{{(- 5 y)}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot (2 y))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = - 5 y$ und $b = 2 \cdot 1 \cdot 2 y$ .

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{(- 5 y + 2 \cdot 1 \cdot (2 y)) (- 5 y - (2 \cdot 1 \cdot (2 y)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache.

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Schritt 3.1.3.1

Faktorisiere $y$ aus $- 5 y + 2 \cdot 1 \cdot 2 y$ heraus.

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Schritt 3.1.3.1.1

Faktorisiere $y$ aus $- 5 y$ heraus.

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{(y \cdot - 5 + 2 \cdot 1 \cdot (2 y)) (- 5 y - (2 \cdot 1 \cdot (2 y)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.1.2

Faktorisiere $y$ aus $2 \cdot 1 \cdot 2 y$ heraus.

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{(y \cdot - 5 + y (2 \cdot 1 \cdot 2)) (- 5 y - (2 \cdot 1 \cdot (2 y)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot - 5 + y (2 \cdot 1 \cdot 2)$ heraus.

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{y (- 5 + 2 \cdot 1 \cdot 2) (- 5 y - (2 \cdot 1 \cdot (2 y)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.2

Multipliziere $2 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Schritt 3.1.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{y (- 5 + 2 \cdot 2) (- 5 y - (2 \cdot 1 \cdot (2 y)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{y (- 5 + 4) (- 5 y - (2 \cdot 1 \cdot (2 y)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.3

Addiere $- 5$ und $4$ .

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{y \cdot (- 1 (- 5 y - (2 \cdot 1 \cdot (2 y))))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.4

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.1.3.4.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{- (y (- 5 y - (2 \cdot 1 \cdot (2 y))))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{- (y (- 5 y - (2 \cdot (2 y))))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{- (y (- 5 y - (4 y)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.4.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{- (y (- 5 y - 4 y))}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{- y (- 5 y - 4 y)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.4

Subtrahiere $4 y$ von $- 5 y$ .

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{- y \cdot (- 9 y)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.1.5.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 1$ .

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{9 y \cdot y}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.5.2

Potenziere $y$ mit $1$ .

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{9 (y \cdot y)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.5.3

Potenziere $y$ mit $1$ .

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{9 (y \cdot y)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{9 y^{1 + 1}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{9 y^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.6

Schreibe $9 y^{2}$ als ${(3 y)}^{2}$ um.

$x = \frac{5 y \pm \sqrt{{(3 y)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{5 y \pm 3 y}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{5 y \pm 3 y}{2}$

Schritt 4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 4 y$

$x = y$