Algebra Beispiele

$\frac{x + 9}{x^{2} - 5 x + 6} \leq 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x + 9 = 0$

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$

Schritt 2

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 9$

Schritt 3

Faktorisiere $x^{2} - 5 x + 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $6$ und deren Summe $- 5$ ist.

$- 3, - 2$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 3) (x - 2) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 5

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 6

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 6.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 3) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 3, 2$

Schritt 8

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = - 9$

$x = 3, 2$

Schritt 9

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - 9, 3, 2$

Schritt 10

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x + 9}{x^{2} - 5 x + 6}$ .

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Schritt 10.1

Setze den Nenner in $\frac{x + 9}{x^{2} - 5 x + 6}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$

Schritt 10.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 5 x + 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 10.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $6$ und deren Summe $- 5$ ist.

$- 3, - 2$

Schritt 10.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 3) (x - 2) = 0$

Schritt 10.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 10.2.3

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.3.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 10.2.3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 10.2.4

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.4.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 10.2.4.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 10.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 3) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 3, 2$

Schritt 10.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 2) \cup (2, 3) \cup (3, \infty)$

Schritt 11

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 9$

$- 9 < x < 2$

$2 < x < 3$

$x > 3$

Schritt 12

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 12.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 9$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 9$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 12$

Schritt 12.1.2

Ersetze $x$ durch $- 12$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 12) + 9}{{(- 12)}^{2} - 5 \cdot - 12 + 6} \leq 0$

Schritt 12.1.3

Die linke Seite $- 0.0\overline{142857}$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 12.2

Teste einen Wert im Intervall $- 9 < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 9 < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 12.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(0) + 9}{{(0)}^{2} - 5 \cdot 0 + 6} \leq 0$

Schritt 12.2.3

Die linke Seite $1.5$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 12.3

Teste einen Wert im Intervall $2 < x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $2 < x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2.5$

Schritt 12.3.2

Ersetze $x$ durch $2.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(2.5) + 9}{{(2.5)}^{2} - 5 \cdot 2.5 + 6} \leq 0$

Schritt 12.3.3

Die linke Seite $- 46$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 12.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 12.4.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(6) + 9}{{(6)}^{2} - 5 \cdot 6 + 6} \leq 0$

Schritt 12.4.3

Die linke Seite $1.25$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 12.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 9$ Wahr

$- 9 < x < 2$ Falsch

$2 < x < 3$ Wahr

$x > 3$ Falsch

$x < - 9$ Wahr

$- 9 < x < 2$ Falsch

$2 < x < 3$ Wahr

$x > 3$ Falsch

Schritt 13

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - 9$ oder $2 < x < 3$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x \leq - 9 or 2 < x < 3$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 9] \cup (2, 3)$

Schritt 15