Algebra Beispiele

$\sqrt[7]{\frac{5^{16} + 5^{x}}{5^{x} + 5^{2}}} = 5$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur $7$ . Potenz.

${\sqrt[7]{\frac{5^{16} + 5^{x}}{5^{x} + 5^{2}}}}^{7} = 5^{7}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[7]{\frac{5^{16} + 5^{x}}{5^{x} + 5^{2}}}$ als ${(\frac{5^{16} + 5^{x}}{5^{x} + 5^{2}})}^{\frac{1}{7}}$ neu zu schreiben.

${({(\frac{5^{16} + 5^{x}}{5^{x} + 5^{2}})}^{\frac{1}{7}})}^{7} = 5^{7}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(\frac{5^{16} + 5^{x}}{5^{x} + 5^{2}})}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(\frac{5^{16} + 5^{x}}{5^{x} + 5^{2}})}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{5^{16} + 5^{x}}{5^{x} + 5^{2}})}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 5^{7}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\frac{5^{16} + 5^{x}}{5^{x} + 5^{2}})}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 5^{7}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(\frac{5^{16} + 5^{x}}{5^{x} + 5^{2}})}^{1} = 5^{7}$

Schritt 2.2.1.2

Potenziere $5$ mit $16$ .

${(\frac{152587890625 + 5^{x}}{5^{x} + 5^{2}})}^{1} = 5^{7}$

Schritt 2.2.1.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

${(\frac{152587890625 + 5^{x}}{5^{x} + 25})}^{1} = 5^{7}$

Schritt 2.2.1.4

Vereinfache.

$\frac{152587890625 + 5^{x}}{5^{x} + 25} = 5^{7}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Potenziere $5$ mit $7$ .

$\frac{152587890625 + 5^{x}}{5^{x} + 25} = 78125$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten mit $5^{x} + 25$ .

$\frac{152587890625 + 5^{x}}{5^{x} + 25} (5^{x} + 25) = 78125 (5^{x} + 25)$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5^{x} + 25$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{152587890625 + 5^{x}}{5^{x} + 25} (5^{x} + 25) = 78125 (5^{x} + 25)$

Schritt 3.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$152587890625 + 5^{x} = 78125 (5^{x} + 25)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $78125 (5^{x} + 25)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$152587890625 + 5^{x} = 78125 \cdot 5^{x} + 78125 \cdot 25$

Schritt 3.2.2.1.2

Multipliziere $78125 \cdot 5^{x}$ .

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Schritt 3.2.2.1.2.1

Schreibe $78125$ als $5^{7}$ um.

$152587890625 + 5^{x} = 5^{7} \cdot 5^{x} + 78125 \cdot 25$

Schritt 3.2.2.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$152587890625 + 5^{x} = 5^{7 + x} + 78125 \cdot 25$

Schritt 3.2.2.1.3

Mutltipliziere $78125$ mit $25$ .

$152587890625 + 5^{x} = 5^{7 + x} + 1953125$

Schritt 3.2.2.1.4

Stelle $7$ und $x$ um.

$152587890625 + 5^{x} = 5^{x + 7} + 1953125$

Schritt 3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Klammere $5^{x}$ aus dem Ausdruck aus.

$5^{x} (1 - 78125)$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Subtrahiere $152587890625$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5^{x} = 5^{x + 7} + 1953125 - 152587890625$

Schritt 3.3.2.2

Subtrahiere $152587890625$ von $1953125$ .

$5^{x} = 5^{x + 7} - 152585937500$

Schritt 3.3.3

Subtrahiere $5^{x + 7}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5^{x} - 5^{x + 7} = - 152585937500$

Schritt 3.3.4

Subtrahiere $78125$ von $1$ .

$5^{x} \cdot - 78124 = - 152585937500$

Schritt 3.3.5

Bringe $- 78124$ auf die linke Seite von $5^{x}$ .

$- 78124 \cdot 5^{x} = - 152585937500$

Schritt 3.3.6

Teile jeden Ausdruck in $- 78124 \cdot 5^{x} = - 152585937500$ durch $- 78124$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.6.1

Teile jeden Ausdruck in $- 78124 \cdot 5^{x} = - 152585937500$ durch $- 78124$ .

$\frac{- 78124 \cdot 5^{x}}{- 78124} = \frac{- 152585937500}{- 78124}$

Schritt 3.3.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 78124$ .

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Schritt 3.3.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 78124 \cdot 5^{x}}{- 78124} = \frac{- 152585937500}{- 78124}$

Schritt 3.3.6.2.1.2

Dividiere $5^{x}$ durch $1$ .

$5^{x} = \frac{- 152585937500}{- 78124}$

Schritt 3.3.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.6.3.1

Dividiere $- 152585937500$ durch $- 78124$ .

$5^{x} = 1953125$

Schritt 3.3.7

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$5^{x} = 5^{9}$

Schritt 3.3.8

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$x = 9$